格拉姆--施密特(Gram-Schmidt)正交化方法笔记

        前段时间，身边的小伙伴问过我关于线性代数的一些知识，其中包含了特征向量的正交化的内容。遥想当初在学习线性代数的时候，只知道施密特正交化可以用来解决这个问题，但是老师猝不及防地甩过来一大段公式(可见下式)，完全没讲怎么来的，并且这破公式好难记，着实困扰了我很长一段时间，直到最近上了《高等工程数学》的一堂课才有点理解它的由来。

         为了简单起见，我们先看看只有a1,a2两个线性无关向量的情况，根据上面的公式可以得出

        那这是怎么来的呢？首先第一个等式是比较符合常理的，主要是第二个的值如何取；我们要明白一定是要与垂直的，即满足两两正交，因此我们可以画一个图更直观地感受一下

         图中的底下的黑色线条(不是蓝色的)是()，而给定的为斜向上黑色的线条，因为不一定与垂直，所以我们需要构造使得与垂直。很直观地，我们可以从图中看到底下蓝色线条对应的向量与是共线同方向的，并且其长度为在上的投影，即

        这里的v就是对应蓝色的线条，根据向量之间的减法，图中的r1就等于,这就与公式中的第二个等式一样，并且发现这个r1与垂直，就是我们所想要的。从这里我们可以看到所求的其实等于r1=,当且仅当p等于在上的投影长度。这样我们延伸到三维空间，我们可以得到

 考虑到正交性，应满足

 

这样就得到了r2=，以此类推，可以得到所有的。

        这次的分享主要是为了大学期间的好伙伴备考而写的，希望对他能有所帮助。