二分法中等号使用问题及边界的选取

难点：

  二分查找的难点在于细节，不等号是否应该带等号

  如mid加一还是减一，while到底用<=还是<;

常用使用场景：寻找一个数，寻找左侧边界，寻找右侧边界

0.二分查找框架

注意点：

1. 不要出现else,把所有的情况用else if写清楚

2.  “...”标记的地方，是可能出现细节的地方，也是出现坑的地方

3. 为防止left和right过大，计算mid时候残生溢出，计算方式mid = left+(right-left)/2 或者 mid = (left+right)/2,两者计算结果相同

代码如下：

int binarySearch(int[] nums,int target){
  int left = 0,right= ... ;
  while(...){
    int mid = left+(right-left)/2;
    if(nums[mid] == target){
      ... 
    }else if(nums[mid] < target){
      left = ...
    }else if(nums[mid] > target){
      right = ...
   } 
   return ...;
  }
}

1.用二分搜索寻找一个数字

最基本的二分搜索

题目：704. 二分查找 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

代码:

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length-1; // 注意点1:right的值

        while(left<= right){ // 注意点2： <=
            int mid = left + (right-left)/2;
            if(nums[mid] == target){
                return mid;
            }else if(nums[mid]target){
                right = mid-1; //注意点4：mid-1
            }
        }

        return -1;
    }
}

一个要知晓的知识点

对于初始化right的赋值一般有两种情况：

一种是赋值为nums.length-1,即最后一个元素的索引，搜索的空间是[left,right],两端都是封闭空间的；

一种是赋值为nums.length,即数组的长度，搜索的空间是[left,right),因为right=nums.length的索引大小是越界的；

疑问|细节

一、注意点1：在上面基本二分搜索我们使用[left,right],两端都是封闭空间的，即right=nums.length-1;

二、注意点2：为什么在while循环中的条件是<=,不是

while中的条件是(循环终止)的条件，也就是说搜索区间为空的应该停止

a.如果while(left<=right)，则终止条件是left=right+1,搜索空间就是[right+1,right],可见此时的区间是空的

b.如果while(left

如果非要使用这种条件，可以加上我们漏掉的搜索空间；代码如下：

return nums[left] == target ? left:-1;

三、注意点3、4：为什么left=mid+1,right=right-1而不是right=mid,left=mid?

在这里的代码种，我们使用的是两端都封闭的搜索空间[left,right],当我们索引mid发现不是要找的target,下一步的搜索自然是去搜索空间[left,mid-1]或者区间[mid+1,right],因为mid已经搜索过，

应该在接下的搜索空间种删除掉。

四、缺陷：

无法以对数级的复杂度找到target(数组中如果有多个)的左边界和右边界；

ps 如果right=nums.length,此时的搜索区间是左开右闭[left,right)，代码修改如下也是正确的

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length; // 注意点1:right的值

        while(left< right){ // 注意点2： <=
            int mid = left + (right-left)/2;
            if(nums[mid] == target){
                return mid;
            }else if(nums[mid]target){
                right = mid; //zhu
            }
        }

        return -1;
    }
}

二、寻找左边界的二分搜索

先看一种普遍的写法：

right初始化为nums.length

代码如下：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意1
    
    while (left < right) { // 注意2
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid; //注意3
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1; 
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意4
        }
    }
    return left;
}

疑问|细节

1.注意点2：为什么 while 中是 < 而不是 <=?

因为right=nums.length，每次循环的搜索区间是[left,right)左闭右开;

while(left

2.为什么没有返回-1的操作，如果nums不存在target的值怎么办？

左侧边界的特殊含义

对于数组[1,2,2,2,3],算法返回1，含义是nums 中小于 2 的元素有 1 个

对于taget=1小于所有数组[2,3,5,7]元素，算法返回0，含义是nums中小于1的元素有0个

对于taget=8大于所有数组[2,3,5,7]元素，算法返回4，含义是nums中小于1的元素有4个

综上得出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

target 不存在 nums 中的情况：

一种是targe大于数组中所有的数字,此时left=nums.length

一种是target小于数组中所有的数字,此时left=0

代码如下：

// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

/****或者****/

 // 检查出界情况
 if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
      return -1;
 }
 return left;

3. 注意点4：为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步应该去 mid 的左侧或者右侧区间搜索，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)

4.注意点3：为什么该算法能够搜索左侧边界？

关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

  if (nums[mid] == target)
        right = mid;

可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

5.为什么返回 left 而不是 right？

while的终止条件是left和right,返回left和right都一样；

6. 怎样right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？与第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

可以，代码如下：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1; //注意点
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            // 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1; //注意点
        } else if (nums[mid] > target) {
            // 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1; //注意点
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 检查出界情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
        return -1;
    }
    return left;
}

三、寻找右边边界的二分搜索

类似寻找左侧边界的算法

代码1：

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;
    
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}

为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。

答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。

至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在锁定右边界时的这个条件判断：

为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。

因为target的值可能大于数组中所有的值，此时left==right==nums.length;

target的值也可能小于数组中所有的值，此时right == left = 0; 

// 判定边界

if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，当然是为了锁定右侧边界，就不再赘述。

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target) {
        return -1;
    }
    return right;
}