拉格朗日插值法+python实现

本文将介绍拉格朗日插值法得数学原理，并用Python实现。

1.数学原理

首先我们得知道一个定理：给定n+1个互异节点，则它的n次插值多项式是唯一存在的。

1.1 线性插值

线性插值即一次插值
已知：

求解:$$L_1(x)=a_{1}x+a_0$$
根据点斜式得到：
$$L_1(x)=y_0+\frac{(y_1-y_0)}{(x_1-x_0)}(x-x_0)$$
即：
$$L_1(x)=\frac{(x-x1)}{(x_0-x_1)}{y}_0+\frac{(x-x0)}{(x_1-x_0)}{y}_1$$
这就是一次拉格朗日多项式
令
$$l_0(x)=\frac{(x-x1)}{(x_0-x_1)}$$
$$l_1(x)=\frac{(x-x0)}{(x_1-x_0)}$$
则一次拉格朗日多项式就可以表示为
$$l_1(x)=y_0{l}_0(x)+y_1{l}_1(x)$$

1.2二次插值

已知：

求解：
$$L_2(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$$
采用以下方法构造，令
$$L_2(x)=A(x-x_1)(x-x_2)+B(x-x_0)(x-x_2)+C(x-x_0)(x-x_1)$$
可以解出：
$$A=\frac{y_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$$
$$B=\frac{y_1}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$$
$$C=\frac{y_2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$
于是可以得到:
$$L_2(x)=\sum _{i=1}^2(\prod _{i=0,i\ne j}^2\frac{x-x_i}{x_j-x_i})y_j$$
该式称为二次拉格朗日多项式
如果令：
$$l_0(x)=\frac{(x-x1)（x-x_2）}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$$
$$l_1(x)=\frac{(x-x0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$$
$$l_2(x)=\frac{(x-x0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$
则
$$L_2(x)=y_0{l}_0(x)+y_1{l}_1(x)+y_2{l}_2(x)$$

1.3 n次拉格朗日插值多项式

由前面得规律可以得到n次拉格朗日插值多项式：
$$L_2(x)=\sum _{i=1}^n(\prod _{i=0,i\ne j}^n\frac{x-x_i}{x_j-x_i})y_j$$

2.Python实现

import numpy as np

def LagrangeInterpolation(x):
    grid_x = np.array([4, 5, 6])
    k = len(grid_x)
    value = np.array([10, 5.25, 1])
    result = 0
    for j in range(k):
        result_l = 1
        for i in range(k):
            if i != j:
                result_l = result_l * (x - grid_x[i]) / (grid_x[j] - grid_x[i])

        result = result + value[j] * result_l

    return result


if __name__ == '__main__':
    x=18
    result=LagrangeInterpolation(x)
    print(result)

结果如下：

-11.0

参考：https://blog.csdn.net/u011699626/article/details/120394802