彻底搞明白概率论：随机事件，样本空间，必然事件，不可能事件

参考视频

样本空间

随机试验E的一切可能基本结果（或实验过程如取法或分配法）组成的集合称为E的样本空间，记为S

• 注意，对于不同的实验，样本空间是不同的，比如用硬币做的所有实验，由于观察的角度和目的不同其样本空间也是不同的，从下面的例子来看：
  

  • 虽然硬币只有 Head 和 Tail 两个面， 但是由于观察的不同，第二个实验和第一个实验的样本空间完全不同

  

样本点

• 样本空间中的每一个元素都称为一个样本点，例如第一个例子中的 H, T；第二个例子中的 HHH, HHT, HTH, HTT, TTT, TTH, THT, THH 都是样本点

随机事件，必然事件，不可能事件

• 比如现在进行一个随机试验，观察骰子的点数：
  

• 在这个随机实验中，样本空间是 $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

• 但是如果我关系其中的一部分值，例如我只关心偶数的情况，那么这就产生了 随机事件
  $$A=\{2,4,6\}$$

• 为什么叫 随机事件 呢，因为对于 $S$ 来说，我们选的 $A$ 不可能 100% 发生，因为骰子点数是偶数这个事件发生概率不是 100% 所以叫做 随机事件。换句话就是因为 $A$ 是 样本空间 $S$ 的一个真子集

• 那假设一个事件 $B=\{1,2,3,4,5,6\}=S$ 那我们把 $B$ 称作必然事件，因为无论发生什么情况，只要这个情况在样本空间 $S$ 中，一定都包含在 $B$ 中。因此，样本空间 $S$ 也是天然的 必然事件

• 同样地，$\varnothing$ 被称为不可能事件，因为其中没有任何元素。

有人可能这里有点思维惯性，有如下疑问：

• 集合怎么能称为 事件呢，我们认为的事件好像是 单个事情，而不应该是一个集合
• 为什么集合中的 单个事件 发生就代表这个集合的事件发生呢？

• 这个地方做个解释：

  • 集合中如果有多个元素，那么：
    • 每个元素称为一个集合的 基本事件：就比如骰子的点数样本空间 $S=\{1,2,3,4,5,6\}$
    • $S$ 的一个随机事件：骰子的点数是偶数 $A=\{2,4,6\}$；这个随机事件的一个基本事件（元素 / 样本点）：骰子点数是 6， $X=\{6\}$；
    • 因为 $A$ 这个事件包含了所有 $2,4,6$ 的基本事件，所以 $A$可以称为：骰子数字为偶数，这个概括的事件，所以这就是为什么我们把集合也定义成 事件 了。
  • 第二个问题就更简单了，比如 骰子数字为6 这个基本事件发生了，那么 $A$ 这个事件肯定就发生了呀，因为这代表 骰子的数字确实是个偶数。所以只要一个事件中的某个基本事件发生，这个事件就发生。这也是为什么我们说 样本空间 这个最大的事件一定是个必然事件，因为无论 $A$ 或者其他事件中的任何基本事件发生，$S$ 样本空间这个事件就一定发生。

• 如果你还不明白，就这么理解：

  • 现在有一个事件 $写作业=\{写语文，写数学，写英语\}$ 那我问你，写数学的时候是不是 $写作业$ 这个事件发生了。当然是啊，而写作业只不过是个更加概括的描述罢了。

• 这里补充一个概念（这个概念在上面已经多次提到，但是没有给明确定义）——事件发生：指的是某个事件（集合）中的一个元素 / 样本点 / 基本事件出现，这个事件就发生。

• 随机事件举例：