算法复杂度分析中的渐近分析（基于输入大小）

为什么要进行性能分析？

有许多重要的事情需要注意，例如用户友好性、模块化、安全性、可维护性等。为什么要担心性能？答案很简单，只有当我们有性能时，我们才能拥有上述所有东西。因此，性能就像货币，我们可以通过它购买上述所有东西。学习性能的另一个原因是——速度很有趣！总而言之，性能==规模。想象一下，一个文本编辑器可以加载 1000 个页面，但每分钟可以拼写检查 1 页，或者一个图像编辑器需要 1 小时才能将图像向左旋转 90 度，或者......你明白了。如果一个软件功能无法应对用户需要执行的任务规模，那么它就等于死了。

给定一个任务的两种算法，我们如何找出哪一种更好？

一种天真的方法是 - 实现两种算法并在计算机上运行两个程序以获得不同的输入，看看哪个花费更少的时间。这种方法在算法分析中存在许多问题。

• 对于某些输入，第一种算法的性能可能优于第二种算法。对于某些输入，第二表现更好。
• 对于某些输入，第一种算法在一台计算机上的性能更好，而第二种算法在另一台计算机上对于其他一些输入的性能更好。

渐进分析是在分析算法时处理上述问题的大思想。在渐近分析中，我们根据输入大小评估算法的性能（我们不测量实际运行时间）。我们计算算法所花费的时间（或空间）如何随着输入大小的增加而增加。

例如，让我们考虑排序数组中的搜索问题（搜索给定项目）。

上述搜索问题的解决方案包括：

• 线性搜索（增长顺序为线性）
• 二叉搜索（增长顺序是对数）。

为了理解渐近分析如何解决上述分析算法中提到的问题，

• 让我们说：
  • 我们在快速计算机 A 上运行线性搜索，并且
  • 在慢速计算机 B 和
  • 选择两台计算机的常量值，以便它准确地告诉我们给定计算机在几秒钟内执行搜索所需的时间。
• 假设 A 的常数是 0.2，B 的常数是 1000，这意味着 A 比 B 强大 5000 倍。
• 对于输入数组大小 n 的小值，快速计算机可能需要更少的时间。
• 但是，在输入数组大小达到一定值后，与线性搜索相比，二叉搜索肯定会开始花费更少的时间，即使二叉搜索是在一台慢速机器上运行的。

输入大小	在 A 上的运行时间	B 上的运行时间
10	2 秒	~ 1 小时
100	20 秒	~ 1.8小时
10^6	~ 55.5 小时	~ 5.5小时
10^9	~ 6.3 年	~ 8.3小时

• 原因是二叉搜索相对于输入大小的增长顺序是对数的，而线性搜索的增长顺序是线性的。
• 因此，在输入大小的某个值之后，始终可以忽略与机器相关的常量。

此示例的运行时间：

• 线性搜索运行时间（以秒为单位）：0.2 * n
• 二进制搜索运行时间（以秒为单位）：1000*log（n）

渐近分析总是有效吗？

渐近分析并不完美，但这是分析算法的最佳方法。例如，假设有两种排序算法在一台机器上分别占用 1000nLogn 和 2nLogn 时间。这两种算法在渐近上是相同的（增长顺序是nLogn）。因此，使用渐近分析，我们无法判断哪一个更好，因为我们忽略了渐近分析中的常数。

此外，在渐近分析中，我们总是讨论大于常量值的输入大小。这些大输入可能永远不会提供给您的软件，并且渐近较慢的算法始终在您的特定情况下表现得更好。因此，您最终可能会选择一种渐近较慢但对您的软件来说更快的算法。

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目录

第1章   遗传算法求解0-1背包问题
第2章　变邻域搜索算法求解旅行商问题
第3章　模拟退火算法求解旅行商问题
第4章　大规模邻域搜索算法求解旅行商问题
第5章　蚁群算法求解容量受限的车辆路径问题
第6章　禁忌搜索算法求解带时间窗的车辆路径问题
第7章　遗传算法求解带时间窗的车辆路径问题
第8章　迭代局部搜索求解订单分批问题
第9章　NSGA-II算法求解多目标01背包问题
第10章　粒子群法求解配送中心选址问题。

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