算法复杂度分析中的渐近分析(基于输入大小)

为什么要进行性能分析?

有许多重要的事情需要注意,例如用户友好性、模块化、安全性、可维护性等。为什么要担心性能?答案很简单,只有当我们有性能时,我们才能拥有上述所有东西。因此,性能就像货币,我们可以通过它购买上述所有东西。学习性能的另一个原因是——速度很有趣!总而言之,性能==规模。想象一下,一个文本编辑器可以加载 1000 个页面,但每分钟可以拼写检查 1 页,或者一个图像编辑器需要 1 小时才能将图像向左旋转 90 度,或者......你明白了。如果一个软件功能无法应对用户需要执行的任务规模,那么它就等于死了。

给定一个任务的两种算法,我们如何找出哪一种更好?

一种天真的方法是 - 实现两种算法并在计算机上运行两个程序以获得不同的输入,看看哪个花费更少的时间。这种方法在算法分析中存在许多问题。

  • 对于某些输入,第一种算法的性能可能优于第二种算法。对于某些输入,第二表现更好。
  • 对于某些输入,第一种算法在一台计算机上的性能更好,而第二种算法在另一台计算机上对于其他一些输入的性能更好。

渐进分析是在分析算法时处理上述问题的大思想。在渐近分析中,我们根据输入大小评估算法的性能(我们不测量实际运行时间)。我们计算算法所花费的时间(或空间)如何随着输入大小的增加而增加。

例如,让我们考虑排序数组中的搜索问题(搜索给定项目)。

上述搜索问题的解决方案包括:

  • 线性搜索(增长顺序为线性
  • 二叉搜索(增长顺序是对数)。

为了理解渐近分析如何解决上述分析算法中提到的问题,

  • 让我们说:
    • 我们在快速计算机 A 上运行线性搜索,并且
    • 在慢速计算机 B 和
    • 选择两台计算机的常量值,以便它准确地告诉我们给定计算机在几秒钟内执行搜索所需的时间。
  • 假设 A 的常数是 0.2,B 的常数是 1000,这意味着 A 比 B 强大 5000 倍。
  • 对于输入数组大小 n 的小值,快速计算机可能需要更少的时间。
  • 但是,在输入数组大小达到一定值后,与线性搜索相比,二叉搜索肯定会开始花费更少的时间,即使二叉搜索是在一台慢速机器上运行的。
输入大小 在 A 上的运行时间 B 上的运行时间
10 2 秒 ~ 1 小时
100 20 秒 ~ 1.8小时
10^6  ~ 55.5 小时 ~ 5.5小时
10^9 ~ 6.3 年 ~ 8.3小时
  • 原因是二叉搜索相对于输入大小的增长顺序是对数的,而线性搜索的增长顺序是线性的。
  • 因此,在输入大小的某个值之后,始终可以忽略与机器相关的常量。

此示例的运行时间:

  • 线性搜索运行时间(以秒为单位):0.2 * n
  • 二进制搜索运行时间(以秒为单位):1000*log(n)

渐近分析总是有效吗?

渐近分析并不完美,但这是分析算法的最佳方法。例如,假设有两种排序算法在一台机器上分别占用 1000nLogn 和 2nLogn 时间。这两种算法在渐近上是相同的(增长顺序是nLogn)。因此,使用渐近分析,我们无法判断哪一个更好,因为我们忽略了渐近分析中的常数。

此外,在渐近分析中,我们总是讨论大于常量值的输入大小。这些大输入可能永远不会提供给您的软件,并且渐近较慢的算法始终在您的特定情况下表现得更好。因此,您最终可能会选择一种渐近较慢但对您的软件来说更快的算法。

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算法复杂度分析中的渐近分析(基于输入大小)_第1张图片

【内容简介】

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目录

第1章   遗传算法求解0-1背包问题
第2章 变邻域搜索算法求解旅行商问题
第3章 模拟退火算法求解旅行商问题
第4章 大规模邻域搜索算法求解旅行商问题
第5章 蚁群算法求解容量受限的车辆路径问题
第6章 禁忌搜索算法求解带时间窗的车辆路径问题
第7章 遗传算法求解带时间窗的车辆路径问题
第8章 迭代局部搜索求解订单分批问题
第9章 NSGA-II算法求解多目标01背包问题
第10章 粒子群法求解配送中心选址问题。


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