氢原子的径向概率和角向概率

matlab代码获取(代码见此处）
題目及分析

1. 求氢原子角向概率密度, 说明角向概率密度的变化规律。
   分析：
   首先需要求出氢原子薛定谔方程得到电子的波函数 ${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\phi )$ 氢原子糸统满足定向薛定谔方程
   $$\left(-\frac{\mathrm{h}}{2\pi }{\nabla }^2-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r}\right){\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=E_n{\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )$$
   每一组量子数 $(n,l,m)$, 都有一组波函数描述一个确定的状态
   $${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\phi )=R_{n}l(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )=R_{nl}(r){\Theta }_{lm}(\theta )\varphi (\phi )$$
   这里, $R_{nl}(r)$ 是径向分布函数, $Y_{lm}(\theta ,\phi )$ 是角向分布函数,
   $Y_{lm}(\theta ,\phi )$ 中 ${\Theta }_{lm}(\theta )$ 表示纬度分布函数, $\varphi (\phi )$ 表示经度分布函数。
   $$Y_{ml}(\theta ,\phi )=(-1{)}^m{N}_{lm}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\phi },N_{lm}=\sqrt{\frac{(l-|m|{)}^2(2l+1)}{(l+|m|{)}^2}}$$
   其中, 氢原子的经度分布函数为
   $${\varphi }_m(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi },$$
   纬度分布函数为
   $${\Theta }_{lm}(\theta )=N_{lm}{P}_l^{|m|}(\cos \theta )$$
   其中, $P_l^m(x)$ 是缔合勒让德多项式, $N_{lm}$ 是归一化常数。
   在氢,原子中取一个体积元
   $$dV=r^2\sin \theta drd\theta d\phi =r^{2}drd\Omega$$
   其中 $d\Omega$ 是立体角。
   电子出现在距离原子中心 $\mathrm{r}$, 俯仰角 $\theta$, 转动角 $\phi$ 处的体积元中的概率
   为
   电子出现在 $\phi$ 到 $\phi +d\phi$ 之间的概率为
   $$w_{m}d\phi ={\left|{\varphi }_m\right|}^{2}d\phi$$
   根据经度分布函数可知: ${\left|{\varphi }_m\right|}^2$ 是常量, 因此概率的角分布关于 $z$ 轴具 有旋转对称性。
   电子出现在立体角 $d\Omega$ 之内的概率为
   $$w_{lm}d\Omega ={\left|{\Theta }_{lm}\right|}^2{\left|{\varphi }_{lm}\right|}^{2}d\Omega =\frac{1}{2\pi }{\left|{\Theta }_{lm}(\theta )\right|}^{2}d\Omega$$
   根据纬度分布函数可得角向概率密度
   $$w_{lm}(\theta )=\frac{1}{2\pi }{\left|{\Theta }_{lm}(\theta )\right|}^2=\frac{1}{2\pi }{\left|N_{\mathrm{lm}}{P}_l^{|m|}(\cos \theta )\right|}^2$$
   

2. 当氢原子主量子数 $\mathrm{n}$ 一定时, 说明各种角量子数的径向概率密度的 分布规律。
   分析:
   $\mathrm{n}$ 阶拉盖尔多项式为
   $$L_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k(n!{)}^2}{(k!{)}^2(n-k)!}{x}^k\text{, }$$
   $\mathrm{n}+1$ 阶拉盖尔多项式为 $L_{n+1}(x)={\sum }_{k=1}^{n+1}\frac{(-1{)}^k[(n+l)!{]}^2}{(k+l-k)!}{x}^{x^k}$
   对于帛函数 $y=x^k$, 其 $\mathrm{n}$ 阶倒数为
   $$y^{(k)}=k(k-1)(k-2)\dots (k-n+1)x^{k-n}=\frac{k!}{(k-n)!}{x}^{k-n}$$
   因此缔合拉盖尔多项式为
   $$\begin{array}{rl}& L_{n+l}^{2n+1}(x)=\sum _{i=0}^{n-l-1}(-1{)}^{l+1}\frac{[(n+l)!{]}^2}{(n-l-1-v)!(2l+1+v)!v!}{x}^{\prime \prime }=F(-n+l+1,2l+2,x)\\ & =\sum _{k=2l-1}^{n+1}\frac{(-1{)}^k[(n+l)!{]}^2}{k!(n+l-k)!}\frac{x^{k-l-1}}{(k-2l-1)!}\end{array}$$
   电子的径向波函数为
   $$\begin{array}{rl}& R_{nl}(r)=N_{ml}{e}^{-\frac{r}{m_n}}{\left(\frac{2r}{n{a}_0}\right)}^l{L}_{n+1}^{2n+1}\left(\frac{2r}{n{a}_0}\right)\\ & \text{ 其中, }{N}_{nl}=\sqrt{{\left(\frac{2}{n{a}_0}\right)}^3\frac{(n-l-1{)}^3}{2n[(n+l)!{]}^3}}\end{array}$$
   可得氢,原子中的申子出现在 r 到 $r+\mathrm{d}\mathrm{r}$ 的概率为
   $$w_{nl}dr={\left|R_{nl}\right|}^2{r}^{2}db$$
   径向密度为
   $$w_{nl}(r)={\left|R_{nj}(r)r\right|}^2=N_{nl}^2{\left[e^{-\frac{-Z}{n{a}_0}}{\left(\frac{2Z}{n{a}_0}r\right)}^r{L}_{n+l}^{2l+1}\left(\frac{2Z}{n{a}_0}r\right)r\right]}^2$$