清蒸君
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【大学物理·早期量子论和量子力学基础】量子力学中的氢原子问题

一、氢原子的薛定谔方程

在氢原子中，电子的势能函数为

U=-\frac{e^{2}}{4\pi \xi _{0}r}

将U代入薛定谔方程得

\frac{\partial^{2} \psi }{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi }{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi }{\partial z^{2}}+\frac{2m}{h^{2}}(E+\frac{e^{2}}{4\pi \xi _{0}r})\psi =0

采用球极坐标(r,\theta ,\varphi )代替直角坐标(x,y,z)，因 x=rsin\theta cos\varphi ,y=rsin\theta sin\varphi ,z=rcos\theta,所以上式化成

\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r}(r^{2}\frac{\partial \psi }{\partial r})+\frac{1}{r^{2}sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta })+\frac{1}{r^{2}sin^{2}\theta}\frac{\partial^2 \psi }{\partial \varphi ^2}+\frac{2m}{h^{2}}(E+\frac{e^{2}}{4\pi \xi _{0}r})\psi =0

通常采用 分离变量法，即有

\psi (r,\theta,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )

1.能量量子化

E_{n}=-\frac{me^{4}}{32\pi ^{2}\xi ^{2}_{0}h^{2}}\frac{1}{n^{2}}=-\frac{me^{4}}{8\xi ^{2}_{0}h^{2}}\frac{1}{n^{2}}

式中n=1,2,3,...,称为主量子数

2.“轨道”角动量量子化

电子绕核运动的角动量必须满足量子化条件

L=\sqrt{l(l+1)}\frac{h}{2\pi }

式中l=0,1,2,3,...(n-1),称为角量子数

3. “轨道”角动量空间量子化

L_{z}=m_{l}\frac{h}{2\pi }

式中m_{l}=0,\pm 1,\pm2,...,\pm l称为磁量子数。对于一定的角量子数l,m_{l}可取(2l+1)个值

早在 1896年塞曼发现，当光源处于外磁场中，它发出的一条谱线将分裂成若干条非 常靠近的谱线，这种现象称为塞曼效应.

二、氢原子中电子的概率分布

在氢原子中，求解薛定谔方程得到的电子波函数\psi (r,\theta ,\varphi )对应每一组量子数(n,l,m_{l})，有一确定的波函数描述一个确定的状态.

\psi _{n,l,m_{l}}(r,\theta ,\varphi )=R_{n,l}(r)\Theta _{l,m_{l}}(\theta )\Phi _{ml}(\varphi )

电子出现在原子核周围的概率密度为

\left | \psi (r,\theta ,\varphi ) \right |^{2}=\left | R(r)\Theta (\theta )\Phi(\varphi ) \right |

在空间体积元dV=r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi内，电子出现的概率为

\left | \psi \right |^{2}dV=\left | R \right |^{2}\left | \Theta \right |^{2}\left | \Phi \right |^{2}r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi

\left | R \right |^{2}r^{2}dr表示电子在半径为r和r+dr薄球壳内的概率，它与坐标\theta与\varphi无关，因此r^{2}\left |R \right |^{2}称为径向概率密度，用p(r)表示

当氢原子处于基态时(n=1,l = 0)，电子出现在玻尔半径a_{0}附近的概率最大

量子力学得出电子出现在某处的概率， 不能断言电子在某处出现

所谓电子云，并不表示电子真的像一团云雾罩那样弥漫在原子核周围，而只是电子概率分布的一种形象化描述而已.

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  • 菜鸟级的android程序员面试时候需要掌握的知识点 xp9802 android
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