数值分析：矩阵奇异值分解

1. 奇异值分解(SVD)

(1)奇异值分解

已知矩阵\(\bm{A} \in \R^{m \times n}\), 其奇异值分解为：

\[\bm{A} = \bm{U}\bm{S}\bm{V}^T \]

其中\(\bm{U} \in \R^{m \times m}\)，\(\bm{V} \in \R^{n \times n}\)是正交矩阵，\(\bm{S} \in \R^{m \times n}\)是对角线矩阵。\(\bm{S}\)的对角线元素\(\bm{s}_1, \bm{s}_2,..., \bm{s}_{\min(m,n)}\)是矩阵的奇异值。

(2) 奇异值分解的求解

而求矩阵的奇异值的算法非常简单，对于实数域下的矩阵\(A\)，我们只需要求\(A^TA\)的特征值和特征向量。其特征向量归一化后即右奇异向量\(\bm{v}_1,\bm{v}_2,...,\bm{v}_n\)，其特征值开根号即对应的奇异值\(\bm{s}_1, \bm{s}_2,..., \bm{s}_{\min(m,n)}\)。 然后由等式

\[\bm{A}\bm{v}_1=s_1\bm{u}_1, \\ \bm{A}\bm{v}_2=s_2\bm{u}_2, \\ ..., \\ A\bm{v}_{\min(m,n)} = \bm{s}_{\min(m,n)}\bm{u}_{\min(m,n)}\]

依次计算出相应的\(\bm{u}_i\)向量的值。
至于特征值的计算，采用 QR 算法，此处不予介绍，这里可以直接调用 np.linalg.eig()函数实现。以下给出奇异值计算代码实例(此处仅为知识演示，具体的工业级别的奇异值计算算法要复杂得多，参考 Golub 与 Van Loan《矩阵计算》)

import numpy as np
def svd(A):
    eigen_values, eigen_vectors = np.linalg.eig(A.T.dot(A))
    singular_values = np.sqrt(eigen_values)
    #这里奇异值要从大到小排序，特征向量也要随之从大到小排
    val_vec = [] #存储奇异值-特征向量对
    for i in range(len(eigen_values)):
        val_vec.append((singular_values[i], eigen_vectors[:, i]))
    val_vec.sort(key = lambda x:-x[0])
    singular_values = [ pair[0] for pair in val_vec]
    eigen_vectors = [ pair[1] for pair in val_vec]

    # 在计算左奇异向量之前，先要对右奇异向量也就是特征向量组成的基正交化
    # 不过linalg.eig返回的是已经正交化的，这一步可省略

    # 由等式Avi = siui(vi是右奇异向量, ui是左奇异向量)
    # 依次计算左奇异向量
    U = np.zeros((A.shape[0], A.shape[1]))
    for i in range(A.shape[1]):
        u = A.dot(eigen_vectors[i])/singular_values[i]
        U[:, i] = u
    # 给U加上标准正交基去构造R3的基
    for i in range(A.shape[1], A.shape[0]):
        basis = np.zeros((A.shape[0], 1))
        basis[i] = 1
        U = np.concatenate([U, basis], axis=1)
    eigen_vectors = [vec.reshape(-1, 1) for vec in eigen_vectors]
    eigen_vectors = np.concatenate(eigen_vectors, axis=1)
    return U, singular_values, eigen_vectors

if __name__ == '__main__':
    # 例一：普通矩阵
    A = np.array(
        [
            [0, 1],
            [0, -1]
        ]
    )
    # 例二：对称矩阵
    # A = np.array(
    #     [
    #         [0, 1],
    #         [1, 3/2]
    #     ]
    # )
    U, S, V = svd(A)
    print("我们实现的算法结果：")
    print(U, "\n", S, "\n", V)
    print("\n")
    print("调用库函数的计算结果：")
    # 调用api核对
    U2, S2, V2 = np.linalg.svd(A)
    print(U2, "\n", S2, "\n", V2)

对普通矩阵\(\left(\begin{matrix}0 & 1 \\0 & -1\end{matrix}\right)\)运行该算法的结果为：

我们实现的算法结果：
[[ 0.70710678  0.70710678]
 [-0.70710678 -0.70710678]] 
 [1.4142135623730951, 0.0] 
 [[0. 1.]
 [1. 0.]]


调用库函数的计算结果：
[[-0.70710678 -0.70710678]
 [ 0.70710678 -0.70710678]] 
 [1.41421356 0.        ] 
 [[-0. -1.]
 [-1.  0.]]

可以看到结果基本符合。此处矩阵\(\left(\begin{matrix}0 & 1 \\0 & -1\end{matrix}\right)\)的奇异值为0.41421和0。此处我们发现普通矩阵的奇异值可以为0。
对对称矩阵\(\left(\begin{matrix}0 & 1 \\1 & \frac{3}{2}\end{matrix}\right)\)运行该算法的结果为：

我们实现的算法结果：
[[-0.4472136   0.89442719]
 [-0.89442719 -0.4472136 ]] 
 [2.0, 0.5] 
 [[-0.4472136  -0.89442719]
 [-0.89442719  0.4472136 ]]


调用库函数的计算结果：
[[-0.4472136  -0.89442719]
 [-0.89442719  0.4472136 ]] 
 [2.  0.5] 
 [[-0.4472136  -0.89442719]
 [ 0.89442719 -0.4472136 ]]

可以看到结果基本符合。此处矩阵\(\left(\begin{matrix}0 & 1 \\0 & -1\end{matrix}\right)\)的奇异值为2和0.5。此处我们发现，对称矩阵的奇异值必为正，不可能为0。

(2)奇异值的应用1：推荐系统

在推荐系统中，我们常定义用户-评分矩阵，表示用户对商品的打分，这个矩阵我们称为共现矩阵。
而这就迫切地需要我们设计矩阵分解算法，为每一个用户和视频生成一个隐向量，将用户和视频定位到隐向量的表示空间上，并满足距离相近的用户和视频表示兴趣特点接近。
在推荐系统的应用场景下，我们企图使用矩阵分解算法将\(m\times n\)维的共现矩阵\(\bm{R}\)分解为\(m \times k\)维的用户矩阵和\(k*n\)维的物品矩阵(的转置)相乘的形式。其中\(m\)是用户数量，\(n\)是物品数量，\(k\)是隐向量。\(k\)的大小决定了隐向量表达能力的强弱。\(k\)越小，隐向量包含的信息越少，模型的泛化程度越高；反之，\(k\)越大，隐向量表达能力越强，泛化程度相应降低。此外，\(k\)的取值还与矩阵分解的求解复杂度直接相关。应用中，\(k\)的取值要经过试验多次找到一个推荐效果和工程开销的平衡。具体的形式如下图所示：

采用什么方法来进行矩阵分解呢？由矩阵分析的知识可得，特征值分解只能作用于方阵，显然不适合于分解用户-物品矩阵。我们在这里采用矩阵的奇异值分解以得到用户和物品的隐向量。
已知\(\bm{M}\)是矩阵\(m\times n\)的矩阵，则一定存在一个分解\(\bm{M} = \bm{U}diag(λ_1, λ_2,..., λ_n)\bm{V}^T\)，其中\(U\)是\(m*m\)的正交矩阵，\(V\)是\(n\times n\)的正交矩阵，\(diag(λ_1, λ_2,..., λ_n)\) 是 \(m \times n\)的对角阵。 我们取对角阵 \(diag(λ_1, λ_2,..., λ_n)\)中较大的\(k\)个元素做为隐含特征，删除\(diag(λ_1, λ_2,..., λ_n)\)中的其他维度及\(U\)和\(V\)中对应的维度。矩阵\(M\)被分解为\(M=U_{m*k}diag(λ_1, λ_2,..., λ_k)V_{k*n}^T\)，至此完成了隐向量维度为\(k\)的矩阵分解。 如果我们调用np.lialg.svd()函数接口，那我们可以将奇异值分解表述如下：

import numpy as np
if __name__ == '__main__':
    M = np.array(
        [
            [0, 4.5, 2.0, 0],
            [4.0, 0, 3.5, 0],
            [0, 5.0, 0, 2.0],
            [0, 3.5, 4.0, 1.0]
        ]
    )
    U, S, V_T = np.linalg.svd(M)
    k = 2 # 取前2个奇异值对应的隐向量
    # 分别打印物品向量和用户向量
    Vec_user, Vec_item = U[:,:k], V_T[:k, :].T
    print(Vec_user, "\n\n", Vec_item)

该算法对运行结果为：

[[-0.55043774  0.1361732 ]
 [-0.26216705 -0.86775439]
 [-0.52483774  0.4552962 ]
 [-0.5939967  -0.1454804 ]] 

 [[-0.12135946 -0.63908086]
 [-0.83093848  0.43821815]
 [-0.50855715 -0.61619448]
 [-0.19021762  0.14087178]]

可以看到我们由共现矩阵成功得到了用户向量和物品向量。
然而，运在推荐系统中的传统奇异值分解存在两点重大的缺陷：

• 奇异值分解要求原始共现矩阵是稠密的，而互联网场景下用户非常少，用 户-物品的共现矩阵非常系数。如果使用 SVD，就必须对缺失的元素值进行填充。
• 传统奇异值分解的计算复杂度达到了\(O(mn^2)\)的级别，这对于商品数量动辄上百万，用户数量往往上千万的互联网场景来说根本不可接受。 所以，传统奇异值分解不适用于解决大规模稀疏矩阵的矩阵分解。因此，梯度下降法成为了矩阵分解的主要方法。这部分内容我们会在推荐系统专栏中进行讲解。

(3)奇异值的应用2：矩阵的低秩近似和数据降维

将矩阵的奇异值分解形式\(\bm{M} = \bm{U}\bm{S}\bm{V}^T\)中的对角阵进一步写成多个子矩阵的和，我们有：

\[\bm{A} = \bm{U}\bm{S}\bm{V}^T=\bm{U} \left( \begin{matrix} s_1 & & \\ & \ddots & \\ & & s_r\\ & & \\ \end{matrix} \right) \bm{V}^T \\ =\bm{U} \left( \left( \begin{matrix} s_1 & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} & & \\ & s_2 & \\ & & \\ & & \\ \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} & & \\ & & \\ & & s_r\\ & & \\ \end{matrix} \right) \right) \bm{V}^T \\ =s_1\bm{u}_1\bm{v}_1^T+s_2\bm{u}_2\bm{v}_2^T+... + s_r\bm{u}_r\bm{v}_r^T \]

注意，这里\(\bm{u}_1\)和\(\bm{v}_1\)是做外积，运算得到一个矩阵。 也就是说，\(m\times n\)的矩阵\(\bm{A}\)可以写成秩为1的矩阵和，即：

\[ \bm{A} = \sum_{i=1}^{r}s_i\bm{u}_i\bm{v}_i^{T} \]

我们将这个性质称为 SVD 的低秩近似性质。
在介绍 SVD 的底秩近似的应用前，我们先介绍数据降维的思想。降维的思想是将数据投影到低维空间，假设\(\bm{a}_{1},\bm{a}_2...,\bm{a}_n\)都是\(m\)维向量(在数据科学的应用中， 一般\(m\)远小于\(n\)，想想为什么)。降维的目标是使用\(n\)个\(p\)维的向量替换原本的\(n\)个\(m\)维的向量，其中新向量的维度\(p，同时最小化该过程引入的误差。
那么 SVD 其实天然可以用于降维。我们定义矩阵\(A\)的秩\(p\)近似，将矩阵\(A\)的奇异值分解保留前\(p\)项，即：

\[\bm{A}_p = \bm{U}_{m\times p}\bm{S}_{p\times p}\bm{V}_{p*n}^T \]

也就是其低秩近似形式保留前\(p\)项，

\[\bm{A}_p= \sum_{i=1}^{p}s_i\bm{u}_i\bm{v}_i^{T} \]

这个式子也可以看做\(\bm{A}\)的最优最小二乘近似形式，即：

\[\bm{A}_p= \underset{\bm{B}}{\text{argmin}}||\bm{A} − \bm{B}||_F \]

这里，\(\bm{B}\)的大小和\(\bm{A}\)一样，\(\bm{B} \in \bm{\R}^{m\times n}\)(但是\(rank(\bm{B})\leqslant p\))，\(F\)指F范数。这里的F范数可以推广到任意的酉不变范数\(||\bm{A} − \bm{B}||_U\)，不过在常规的使用中，大家就使用\(F\)范数就够了。
矩阵最优近似是有着几何解释的。空间\(<\bm{u}_1,...,\bm{u}_p>\)由左奇异向量\(\bm{u}_1,...,\bm{u}_p\)长成，这是对于\(\bm{a}_1,...,\bm{a}_n\)的\(p\)维子空间在最小二乘意义上的最优近似，\(\bm{A}\)的列\(\bm{a}_i\)在该空间上的正交投影对应\(\bm{A}_p\)的列。换句话讲，一组向量 \(\bm{a}_1,\bm{a}_2,...,\bm{a}_n\)找到其最优的最小二乘\(p\)维子空间的投影(最小二乘后面会介绍，这里暂时理解不了也没关系)就是矩阵最优的秩\(p\)近似矩阵\(\bm{A}_p\)。
比如，我们要找到最优的一维子空间拟合数据向量\((3,2)^T,(2,4)^T,(-2,-1)^T,(-3,-5)^T\)。 4 个向量近似指向相同的一维子空间，我们想找出这个子空间，该空间能够使向量投影到子空间的平方误差和最小。然后我们找出投影向量，投影向量组成的矩阵就是我们要求的近似矩阵\(\bm{A}_p\)。
如下图所示：
算法如下：

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
def approximation(A, p):
    U, s, V_T = np.linalg.svd(A)
    B = np.zeros(A.shape)
    for i in range(p):
        B += s[i]*U[:,i].reshape(-1, 1).dot(V_T[i, :].reshape(1, -1))
    return B

if __name__ == '__main__':
    # 例一：
    # A = np.array(
    #     [
    #         [0, 1],
    #         [1, 3/2],
    #     ]
    # )
    # 例二：
    A = np.array(
        [
            [3, 2, -2, -3],
            [2, 4, -1, -5]
        ]
    )

    # p为近似矩阵的秩，秩p<=r
    p = 1
    B = approximation(A, p)
    print(B)

    #最终得到的矩阵秩
    print(np.linalg.matrix_rank(B))

(注意，numpy 内置的 SVD 函数返回的是\(V^T\)而不是\(V\)，我就在这儿犯过错。。。 导致后面求出来的近似矩阵不对／(ㄒｏㄒ)／～～)
最终对例一矩阵\(\left(\begin{matrix}0 & 1 \\1 & \frac{3}{2}\end{matrix}\right)\)运行算法的结果如下：

[[0.4 0.8]
 [0.8 1.6]]
1

该矩阵的四个列向量对应原始数据向量的投影向量。可以看到这四个向量线性相关, 且最终得到的矩阵的秩为1。
最终对例二矩阵\(\left(\begin{matrix}3 & 2 &-2 &-3 \\2 & 4 & -1 & -5 \end{matrix}\right)\)运行算法的结果如下：

[[ 1.99120445  2.59641446 -1.16885153 -3.41876737]
 [ 2.73456571  3.56571418 -1.60521001 -4.69506988]]
1

该矩阵的四个列向量对应原始数据向量的投影向量。可以看到这四个向量线性相关, 且最终得到的矩阵的秩也为1。
也就是说我们的算法对这两个矩阵都达到了我们低秩近似的效果。因为降维后这两个矩阵的四个向量同属于一个一维子空间，我们只需要一个维度就可以区分这四个向量了，因此我们达到了数据降维的效果。

(3)奇异值的应用3：压缩

矩阵的奇异值分解可以用于压缩矩阵信息。我们注意到矩阵的展开式

\[\bm{A} = \sum_{i=1}^{r}s_i\bm{u}_i\bm{v}_i^{T} \]

中，每一项使用两个向量\(\bm{u}_i\),\(\bm{v}_i\)，以及一个数字\(s_i\)定义。如果\(\bm{A}\)是一个\(n\times n\)矩阵，我们可以尝试矩阵\(\bm{A}\)的有损压缩，及扔掉求和后面的几项，它们具有较小的\(s_i\)，也就是说对数据的存储而言显得“无关紧要”。就这样，我们可以保留前\(p\)项，将矩阵的\(p\)秩近似做为矩阵的压缩结果。\(p\)越多则近似矩阵对矩阵的近似程度越高，压缩程度越低；\(p\)越少则近似矩阵对矩阵的近似程度越低，压缩程度越高。每一项包括\(\bm{u}_i\)向量、\(\bm{v}_i\)向量和一个数字\(s_i\)，总共需要\(2n+1\)个数字保存或者传输。例如，当\(n=8\)时，矩阵由\(64\)个图片定义。但是我们可以传输或者保存矩阵的第一项展开，仅仅使用\(2n+1=17\)个数字。如果大量信息可以由第一项捕捉， 例如，当第一个奇异值比其他的奇异值大得多的时候，以这种方式处理可能节省\(75\%\)的空间。
算法如下：

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
import cv2 as cv
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif']=[u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False
def approximation(A, p):
    U, s, V_T = np.linalg.svd(A)
    B = np.zeros(A.shape)
    for i in range(p):
        B += s[i]*U[:,i].reshape(-1, 1).dot(V_T[i, :].reshape(1, -1))
    return B

if __name__ == '__main__':
    img = cv.imread("chapter12.特征值和奇异值/12.4.SVD的应用/12.4.3.图像压缩/img.jpeg", flags=0)
    img_output = img.copy()

    # p为近似矩阵的秩，秩p<=r，p越大图像压缩程度越小，越清晰
    p = 50
    img_output = approximation(img, p)
    fig, axs = plt.subplots(1, 2)
    axs[0].imshow(img)
    axs[0].set_title('原图')
    axs[1].imshow(img_output)
    axs[1].set_title('压缩后的图')
    plt.savefig('chapter12.特征值和奇异值/12.4.SVD的应用/12.4.3.图像压缩/result.png')
    plt.show()

最终图片的压缩效果：

知名程序库和源码阅读建议

SVD 算法有很多优秀的开源甚至分布式的实现，这里推荐几个项目：

(1) Gensim

Gensim 是一个采用 Python 和 Cpython 实现的自然语言库，提供了很多统计自然语言处理算法的实现，也包括我们这里提到的 SVD 算法。文档地址：https://radimrehurek.com/gensim/源码地址：https://github.com/RaRe-Technologies/gensim.git

(2) Spark-MLlib

Spark 除了包含 GraphX,它还包括了机器学习库 MLlib，其中就有奇异值分解的分布式实现。文档地址：https://spark.apache.org/mllib/源码地址：https://github.com/apache/spark

参考文献

• [1] Timothy sauer. 数值分析(第2版)[M].机械工业出版社, 2018.
• [2] Golub, Van Loan. 矩阵计算[M]. 人民邮电出版社, 2020.
• [3] 深度学习推荐系统[M]. .2020