java测试一个泰勒级数,数学原理-高等数学复习笔记 ——1.1 泰勒公式 泰勒展开式...

(注 ：需理解 有限增量定理 即拉格朗日中值定理 ：https://www.zhihu.com/search?type=content&q=%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B8%AD%E5%80%BC)

第一次见到泰勒展开式的时候，我是崩溃的。泰勒公式长这样：

好奇泰勒是怎么想出来的，我想，得尽量还原公式发明的过程才能很好的理解它。

首先得问一个问题：泰勒当年为什么要发明这条公式？

因为当时数学界对简单函数的研究和应用已经趋于成熟，而复杂函数，比如：

这种一看就头疼的函数，还有那种根本就找不到表达式的曲线。除了代入一个x可以得到它的y，就啥事都很难干了。所以泰勒同学就迎难而上！决定让这些式子统统现出原形，统统变简单。

让我们沿着泰勒同学(假装泰勒是这么想的)的思路来：

要让一个复杂函数变简单，能不能把它转换成别的表达式？比如函数

，怎么看都看不出思路，怎么办呢？我们先不要一口吃掉它，可以先从它最小的部分算起，比如说一个点

。可以得到：

。暂时看不出有什么规律。

那就继续增大研究的对象，比如说

的领域

，

。可以得到：

，其中，

，

。好像还是看不出什么规律？然鹅，聪明的泰勒早以看穿一切。

因为

，所以原式可以化为：

。所以泰勒想是不是这样：

，即

。嗯先假设是这样，然后泰勒同学决定验证一下。

先求个导试试：

。对了，泰勒同学很激动！继续求：

，咦，不对了。那说明有了一些问题。仔细分析一下问题在哪呢？

我们可以尝试把

拆开来：

，然后分析他们之间有什么共性。

让我们对

进行求导看看：

一阶导：

，嗯多了个

。

二阶导：

，多了

。好像有点规律了，

......

m阶导：

阶导：0。

是一个常数，所以对

求导就是0了。

这里规律很明显了，m阶导以后都是0！但是m阶导以前呢？还是蛮复杂的，不过不用担心，因为

，即

，所以m阶导以前也都是0，而m阶导就是

。perfect！

这样就很清晰了：对

求m阶导为

。但是我们想要的值是

，那就把给m!除掉！

即乘于一个

，所以

，证明完毕。泰勒同学很开心！