BUAA^AITMCLAB&LAB4题解

LAB4题解：

• 分析加密过程：

  • 可以发现是Hill Cipher,密钥矩阵分别为三阶和五阶，解密关键是找到密钥矩阵$K$在模运算意义下的逆矩阵$K^{-1}$， 即：
    $$K{K}^{-1}\equiv I(mod26)$$

• 关于希尔密码：

  • 加密：

    1. a-z分别对应0-25

    2. $p=(p_1,p_2,...,p_l)$有$p_i\in P=({\mathbb{Z}}_m^{\ast }{)}^n$,故有明文矩阵:

       $$\begin{gathered} msg=\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& ...& p_n\\ p_{n+1}& p_{n+2}& ...& p_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ p_g& p_{g+1}& ...& p_{gn}\end{array}\right] \\ 其中，g=\lceil l/n\rceil ,且p_{l+1}～p_{gl}均为0 \end{gathered}$$

    3. 密钥矩阵$key\in K=GL(n,{\mathbb{Z}}_m)$

    4. 加密变换：$cpr=msg\ast key(mod26)$

  • 解密：

    1. $c=(c_1,c_2,...,c_l)$有$p_i\in C=({\mathbb{Z}}_m^{\ast }{)}^n$故有密文矩阵$cpr$

    2. 解密变换：$msg=cpr\ast ke{y}^{-1}(mod26)$

• 解密过程实现：

  • 关于python的sympy库：使用它的原因是它可以很方便地求取模运算意义下的逆矩阵（doge

    • Sympy是一个符号计算的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由Python写成，不依赖于外部库。SymPy支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散 数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。

    • 官方在线文档

    • 安装：

      pip install sympy
      

  • 可以注意到，矩阵和字符串的相互转换操作很频繁，所以我们首先将其函数化便于调用：

    • 函数s2m:将字符串按要求转换为矩阵

      def s2m(s, n):
          """
          convert str to matrix
          :param s: str
          :param n: cols
          :return: m: Matrix
          """
          g = ceil(len(s) / n)
          m = Matrix.zeros(g, n)  # 生成零矩阵
          k = 0
          for i in range(g):
              for j in range(n):
                  m[i, j] = ord(s[k]) - ord('a')
                  k += 1
          # print(latex(m))
          return m
      

      **注意：**lab4加密过程中，$g=len(p)//n$,这是因为助教的数据保证了g是整数，实际应用中需要采用之前提到的向上取整进行计算，最后矩阵不足的补为0即可

    • 函数m2s：将矩阵按要求还原为字符串

      def m2s(mtx: Matrix):
          """
          convert matrix to string
          :param mtx: Matrix
          :return: s: str
          """
          s = ""
          g, n = mtx.shape
          for i in range(g):
              for j in range(n):
                  s += chr(mtx[i, j] + ord('a'))
          return s
      

  • 解密变换函数实现：

    def decrypt(cpr, n, key: Matrix):
        """
        Hill Cipher decryption
        :param cpr: cipher str
        :param n: cols
        :param key: Matrix
        :return: msg: plaintext
        """
        m = s2m(cpr, n)
        key_inv = key.inv_mod(26)
        msg = m * key_inv % 26
        return m2s(msg)
    

• flag获取主流程：

  from sympy import Matrix, latex
  from math import ceil
  if __name__ == "__main__":
      n1 = 3
      n2 = 5
      key1 = Matrix([
          [10, 19, 13],
          [19, 24, 5],
          [24, 9, 2]])
      key2 = Matrix([
          [2, 5, 9, 10, 11],
          [11, 7, 3, 1, 8],
          [23, 21, 15, 8, 1],
          [19, 18, 20, 16, 3],
          [18, 17, 16, 15, 2]])
      cipher1 = "mmfpshozuggueac"
      cipher2 = "hrqmldzrzcoyymc"
      print(f"flag{{{decrypt(cipher1, 3, key1)+decrypt(cipher2, 5, key2)}}}")
      # flag{longtimenoseeeethislabissoeasy}