Floyd 算法，找出所有最短路径或最长路径 matlab（一）
前言
先参考此篇博客，了解常规floyd算法是如何求最短路径的，搞懂D和R的意义，再往后看，否则看不懂
https://blog.csdn.net/kabuto_hui/article/details/82886826
Dijkstra算法是解决正权单源点最短路径问题的公认的最好算法，它得到的是最短路径树。但是实际生活中，常常存在不止一条最短路径，我们需要把这些最短路径全部找出来，这是原始dijkstra无法一次做到的。我们也可能需要任意源点到目标点的数据，原始dijkstra只有一个源点，所以也无法一次就得到。总而言之，这是一种复杂度最低，但是局限性大的算法。
改进的Dijkstra算法[1][2]，得到的是最短路径图，可以找出所有最短路径，但仍然无法解决带有负权边的问题。
虽然Floyd算法明显具有更高的时间复杂度（Dijkstra算法时间复杂度:O(n ^2)；Floyd算法时间复杂度:O(n ^3)），但Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路径)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法，也要高于执行|V|次SPFA算法[4]。
本文改进Floyd算法，使其能够只经过一轮迭代，就给出全局任意两点之间所有最短路径或最长路径。
当然，此算法要有解，必须基于以下前提：最短路径要存在，则图上不能有权重之和为负数的环；最长路径要存在，则必须是有向无环图DAG
改进算法
要求所有最短路径，其实很简单。
不管有几条最短路径，最后获得的距离矩阵D一定是一样的，所以D矩阵迭代更新的部分不需要修改。
原算法之所以只能求得一条最短路径，是因为它只有在
D ( i , K ) + D ( K , j ) < D ( i , j ) D(i,K)+D(K,j) < D(i,j) \, D(i,K)+D(K,j)<D(i,j)
时，才会更新路由矩阵R
R ( i , j ) = R ( i , k ) R(i,j)=R(i,k) R(i,j)=R(i,k)
然而存在大量
D ( i , K ) + D ( K , j ) = D ( i , j ) , D(i,K)+D(K,j) = D(i,j) , D(i,K)+D(K,j)=D(i,j),
的情况不被考虑，等于号的情况预示着存在距离一样的其他中转路径，所以传统floyd算法忽略了和它一样长的其他最短路径。
现在我们要求所有最短路径，只要把等于的情况也考虑进来就好了
计算过程中
分两种情况即可
1、在小于的情况下，更新R矩阵（替换）
i f D ( i , K ) + D ( K , j ) < D ( i , j ) : R ( i , j ) = R ( i , k ) if \ \ D(i,K)+D(K,j) < D(i,j) :\\ R(i,j)=R(i,k) if D(i,K)+D(K,j)<D(i,j):R(i,j)=R(i,k)
2、在等于的情况下
更新R矩阵，但不是取代原来的元素，而是并列放置（追加）
i f D ( i , K ) + D ( K , j ) = D ( i , j ) : R ( i , j ) = [ R ( i , j ) , R ( i , k ) ] if \ \ D(i,K)+D(K,j) = D(i,j) :\\ R(i,j)=[R(i,j) , R(i,k)] if D(i,K)+D(K,j)=D(i,j):R(i,j)=[R(i,j),R(i,k)]
此时R(i,j)已经不是一个“数”了，而是一个向量或者列表，所以R矩阵也不能再称之为矩阵，而是采用元组cell(元胞)来表示
所以很简单，只需要在之前算法(原版代码参考前面提到那篇博客）基础上更改几处
% floyd_all.m
% 采用floyd算法计算图a中所有最短路
% d是矩离矩阵
% r是路由矩阵(元胞）
function [d,r]=floyd_all(a)
n=size(a,1);
% 初始化距离矩阵
d=a;
%定义路由矩阵为元胞
r=cell(0);
% 初始化路由矩阵(元胞）
for i=1:n
for j=1:n
r{i,j}=[j];
end
end
% Floyd算法开始
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)
d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);
r{i,j}=r{i,k};%小于的情况下，对r进行更新替换操作
elseif (d(i,k)+d(k,j)==d(i,j))&&(k~=i)&&(k~=j)&&(d(i,j)~=inf)
r{i,j}=[r{i,j},r{i,k}];%等于情况下，对r进行并列放置操作
end
end
end
end
r=cellfun(@(x) unique(x),r,'un',0); %R的每个元素中，可能会有重复的数，消去即可
end
注意在等于的情况下，要记得排除k=i或k=j的情况，也要排除d(i,j)=inf 的情况。
因为我们假设图是不存在负权的环路的，所以对角线元素必为0，一旦k=i或k=j，等于号就必定成立了，增添了不必要的元素。
如果不排除d(i,j)=inf，若两个点 i 、j 之间不存在可行路，则等于号对任意k都是必定成立。
∀ K ∈ [ 1 , n ] , D ( i , K ) + D ( K , j ) ≡ D ( i , j ) ≡ i n f \forall K\in [1,n] \ , \ \ D(i,K)+D(K,j) \equiv D(i,j)\equiv inf ∀K∈[1,n] , D(i,K)+D(K,j)≡D(i,j)≡inf
会导致把所有k都罗列进来，但这不是我们想要的结果。
示例
1.有向图
a =
0 1 1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf
Inf 0 Inf 2 3 Inf Inf Inf Inf
Inf Inf 0 Inf 2 2 Inf Inf Inf
Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3 Inf Inf
Inf Inf Inf Inf 0 Inf 5 5 Inf
Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf 5 Inf
Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf 4
Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2
Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0
[d,r]=floyd_all(a);
距离矩阵
路由矩阵（元胞）
2.无向图
b1 =
0 1 1 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 11
1 0 Inf 2 3 Inf Inf Inf Inf Inf
1 Inf 0 Inf 2 2 Inf Inf Inf Inf
Inf 2 Inf 0 Inf Inf 3 Inf Inf Inf
Inf 3 2 Inf 0 Inf 5 5 Inf Inf
Inf Inf 2 Inf Inf 0 Inf 5 Inf Inf
Inf Inf Inf 3 5 Inf 0 Inf 4 Inf
Inf Inf Inf Inf 5 5 Inf 0 2 Inf
Inf Inf Inf Inf Inf Inf 4 2 0 1
11 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 1 0
[d,r]=floyd_all(b1);
距离矩阵
路由矩阵（元胞）
例如：R(1,10)=[2,3,10]
代表：如果想从1走到10，则下一步走到2，3，10均可。
总结
此算法面对大矩阵（行数大于1000）还是略慢，而且等于的情况越多，就会越慢，但是占用内存不算多，可以接受。
用改进的Dijkstra算法会更快，但是无法解决最长路径问题。
参考文献
[1]王志坚 等. 具有多条最短路径的最短路问题. 哈尔滨工业大学学报. 2010.
[2]David B. dijkstraties Modified Dijsktra’s Algorithm to return all paths that tie for shortest. Matlab file exchange. 2012.
[3]kabuto_hui. 最短路径-Floyd算法的matlab实现.md. CSDN博客. 2018
[4]《Floyd算法》百度百科
matlab 函数 dijkstraties 求所有最短路径
如何通过路由矩阵列出所有最短路径（最长路径）
且听下回分解——请看（二）