霍夫变换详细解释

霍夫变换

1.What
霍夫变换是一种特征提取手段，用来提取形状（直线，圆等）边界[1]。

2.Why
形状边界假设是直线，这条线是很多点组成的一个集合。处理这个集合，比处理一个点要复杂的多。简单讲，霍夫变换就是想把一条线（边界）用点来处理，这样就会更容易提取出边界。

3.How
前面提到把线换成点来处理，其实是通过空间变换来实现的，变换后的空间就是霍夫空间。
3.1霍夫空间
直角坐标系（x，y）空间中，每条直线y = mx + c可以由两个参数确认：
(1)斜率m
(2)Y轴上的截距c
如果将m，c看成是自变量，有c=-xm+y，这个（m，c）空间就是霍夫空间。
3.2霍夫变换
3.2.1概念
对于(x, y)空间上的某个点(x1, y1)有y1 = m*x1 + c，则c = -x1*m + y1，这也就是霍夫空间上的一条直线。
对于(x, y)空间上的某条直线有y = m1*x + c1，则c1 = -x*m1 + y，这也就是霍夫空间上的一个点(m1, c1)。
总结：(x, y)空间 -> (m, c)空间,点变成直线，直线变成点。

3.2.2特点
如下图，左边(x, y)空间，右边是(m, c)空间
p1，p2，p3，p4是(x, y)空间上4个点。对应(m, c)空间上4条直线l1，l2，l3，l4。l1和l2的焦点的值，(m1, c1)，对应的是(x, y)空间上穿过p1和p2点的直线的斜率和截距。同理l3和l4的焦点的值，(m2, c2)对应的是(x, y)空间上穿过p3和p4点的直线的斜率和截距。明白这个道理，就已经掌握这个变换的整个过程了。

3.2.3检测直线
检测(x, y)空间上直线：
(1)在霍夫空间中，统计直线的焦点次数，比如上图l1，l2，l3这三条直线的焦点，分别是l1，l2； l2，l3； l1，l3。因此次数是3。把这种统计焦点的次数称为投票。
(2)将统计好的点的次数，列表，如下

Points	No. of Votes
(m11, c81)	50
(m29, c36)	80
(m30, c70)	60

3个点分别是50，80，60次。这样就可以设定一个阈值，如果阈值为55，那么最终得到的点就是(29, 36), (30, 70)对应的是(x, y)空间上两条直线。
(3)准确度
准确度是由每次m和c的值增加的步幅来确定的，比如m和c的步幅为step1 = 1和step2 = 2，那么(m, c)在step1遍历的点比step2要多，因此准确度更高。
(4)问题
如果(x, y)空间上的直线是一个趋近于竖直的线，这时截距可能就是一个无限大的数，这个数要在(m, c)空间上怎么表示呢，在计算机中怎么处理呢？因此这个(m, c)空间不能够很好的处理这些“特殊”的直线。

3.3极坐标系下的霍夫空间
为解决3.2.3中（4）的问题，我们将霍夫空间换成极坐标表示。(x, y)空间上的直线在极坐标系中表示如下：r = x1cos(Θ)+y1sin(Θ)，r是原点到直线的垂直距离，Θ是“距离”这个线段与x轴的夹角。如下图[2]

Θ范围(-90,+90),

r范围(0,diagonal_length),diagonal_length是原图对角 线长度。

变换关系
(x, y)空间上的直线对应在(r, Θ)空间仍然是点，但是(x, y)空间上的点对应在(r, Θ)空间是正弦曲线。同样采用“投票”机制，(r, Θ)空间下，两条正弦曲线相交一个点，就把这个点被相交的次数+1的。这个交点就是对应(x, y)空间上穿过两条正弦曲线对应的点的直线。如下图

为了记录这些“投票”结果，可以用一个二维矩阵作为累加器来实现，(Θ, r)作为矩阵的元素。对于每个(x, y)空间上的点，变换Θ来得到不同的r。把每个
得到的Θ, r的组合在二维矩阵中对应位置+1。如下表

Points	No. of Votes
(Θ51, r83)	100
(Θ29, r46)	80
(Θ30, r70)	60

得到三组值，第一组表示(Θ51, r83)对应的原图直线穿过了100个点，因此这条直线得到的投票很高，被提取效果应该比较好。
同样，可以设定阈值，比如75，那么只提取出第一组和第二组的两条直线。
准确度控制，可以用Θ的步幅来控制，比如1次增加1度要比一次增加5度提取出来的直线更加准确。

3.4补充
霍夫变换检测边缘只对边缘图片（经过canny或者sobe算子提取特征后的图片）有效，对一般的图片无效[3]。

参考文献
[1] Hough Transform
[2] https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/hough.htm
[3] https://aishack.in/tutorials/hough-transform-normal/