POJ-1707 Sum of powers bernoulli方程

　　题目链接：http://poj.org/problem?id=1707

　　利用bernoulli方程来解决此题。

     数学上，伯努利数B_n的第一次发现是与下述数列和的公式有关：

        

     其中n为固定的任意正整数。

     这数列和的公式必定是变量为m，次数为n+1的多项式，称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有密切关系如下：

      

     

     举例说，把n取为1，我们有

    伯努利数可以由下列递推公式计算：

     ，初值条件为 B ₀ = 1。      [摘自wikipedia]

     注意:这里计算的是0~m-1的值，因此最后第二项还要加上一个m^n;

 1 //STATUS:C++_AC_0MS_140KB

 2 #include<stdio.h>

 3 #include<stdlib.h>

 4 #include<string.h>

 5 #include<math.h>

 6 #include<iostream>

 7 #include<string>

 8 #include<algorithm>

 9 #include<vector>

10 #include<queue>

11 #include<stack>

12 #include<map>

13 using namespace std;

14 #define LL __int64

15 #define pii pair<int,int>

16 #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

17 #define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))

18 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

19 #define lson l,mid,rt<<1

20 #define rson mid+1,r,rt<<1|1

21 const int N=25,INF=0x3f3f3f3f,MOD=40001,STA=8000010;

22 const double DNF=1e13;

23 

24 LL B[N][2],C[N][N],f[N][2];

25 int n,m;

26 

27 

28 LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;}

29 LL lcm(LL a,LL b){return a/gcd(a,b)*b;}

30 

31 void getC(int n)

32 {

33     int i,j;

34     n++;

35     for(i=0;i<=n;i++)C[i][0]=C[i][i]=1;

36     for(i=2;i<=n;i++){

37         for(j=1;j<n;j++){

38             C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];

39         }

40     }

41 }

42 

43 void bernoulli(int n)

44 {

45     int i,m;

46     LL s[2],b[2],l,g;

47     B[0][0]=1;B[0][1]=1;

48     for(m=1;m<=n;m++){

49         s[0]=1,s[1]=1;

50         for(i=1;i<m;i++){

51             b[0]=C[m+1][i]*B[i][0];

52             b[1]=B[i][1];

53             l=lcm(s[1],b[1]);

54             s[0]=l/s[1]*s[0]+l/b[1]*b[0];

55             s[1]=l;

56         }

57         s[0]=-s[0];

58         if(s[0]){

59             g=gcd(s[0],s[1]*C[m+1][m]);

60             B[m][0]=s[0]/g;

61             B[m][1]=s[1]*C[m+1][m]/g;

62         }

63         else B[m][0]=0,B[m][1]=1;

64     }

65 }

66 

67 int main()

68 {

69  //   freopen("in.txt","r",stdin);

70     int i,j;

71     LL g,maxlcm;

72     getC(20);

73     bernoulli(20);

74     while(~scanf("%d",&m))

75     {

76         for(i=0;i<=m;i++){

77             g=gcd(C[m+1][i],B[i][1]);

78             f[i][0]=C[m+1][i]/g*B[i][0];

79             f[i][1]=B[i][1]/g;

80         }

81         maxlcm=f[0][1];

82         for(i=1;i<=m;i++){

83             maxlcm=lcm(maxlcm,f[i][1]);

84         }

85         if(maxlcm<0)maxlcm=-maxlcm;

86         for(i=0;i<=m;i++){

87             f[i][0]*=maxlcm/f[i][1];

88         }

89         f[1][0]+=maxlcm*(m+1);

90 

91         printf("%I64d",(m+1)*maxlcm);

92         for(i=0;i<=m;i++)

93             printf(" %I64d",f[i][0]);

94         printf(" 0\n");

95     }

96     return 0;

97 }