划分树[各种]

　　盗了别人的资料。。。

其实看下面的一个图片就知道划分树的结构了，和归并排序极为相似：

  注意：一定要注意其中中位数有多个相同的情况，需要统计。例如，上图第一次操作，只有一个3到了左区间。

下面是具体的讲解：

TonyShaw
    如果对于一段区间，仅查找一次第k大元素的话好说，直接一个快排搞定。
    如果有多次离线询问，然后就可以通过归并排序，建一棵归并树(nlogn)对于树的每一个节点，通过归并排序递归的建立一个序列，其中每个节点[l,r]表示原序列中，[l,r]这些数字排序以后的状态。如图，红色节点表示会被分到左子树。

           
    就这样，在区间[l,r]查找第k大元素的时候，先二分枚举元素x，求出x为第几大元素，再在归并树里查找相应区间，对于每一个被包含的区间，二分查找有多少个比当前枚举的元素x小，有多少元素小于等于当前枚举元素x，如果k刚好在这两段区间里，x就是第k大数。程序巨猥琐于是我没写- -！总体复杂度n(logn)^3……强烈膜拜想出此算法的。
下面是本文重点：我不想写上面巨猥琐无比的算法，但是还要把题做出来，就从网上找资料，听说有个nlogn算法，叫做划分树。无奈资料巨少无比，只有某牛人的C++代码（一开始没看代码，光想下一位神牛的算法了，然后傻了……，代码写的很好，查找元素的函数对我帮助很大）和某“神牛”错误描述（此神牛浪费我2天时间，就是因为那个错误算法)。自己同样“yy3天后总算有点眉目，也不知道是不是传说中的划分树，不过复杂度nlogn应该是没错，“划分树和归并树差不多，不过节点定义不太一样。
划分树指的是，每一个节点保存区间[l,r]所有元素，元素排列顺序与原数组相同，但是两个子树的元素为该节点所有元素排序后前(r-l+1)/2个进入左子树，其余的到右子树，同时维护一个sum域，sum[i]表示l--i这些点中有多少个进入了左子树。
图片如下：
红色表示该元素要进入左子树。树的建立很简单，我的方法比较笨- -！先排序，然后递归建树l等于r时直接赋值为sorted[l]，否则先处理其左右孩子，然后将其孩子安在原数组中的顺序在该节点排列，总而言之建树怎么都行，只要出来是上面这个图并且能完美的维护sum域就行。
查找其实是关键，因为再因查找[l,r]需要到某一点的左右孩子时需要把[l,r]更新。具体分如下几种情况讨论：
假设要在区间[l,r]中查找第k大元素，t为当前节点，lch，rch为左右孩子，left，mid为节点t左边界和中间点。
1、sum[r]-sum[l-1]>=k，查找lch[t],区间对应为[left+sum[l-1],left+sum[r]-1]。
2、sum[r]-sum[l-1]<k,查找rch[t]，区间对应为[mid+1+l-left-sum[l-1],mid+r-left+1-sum[r]]。