米勒奥尔模型中现金返回线，最佳持有量的推导

CPA财管公式理解

第十二章现金管理随机模式

现金返回线

前言

` 阅读CPA财管第十二章营运资本管理现金管理中的随机模式对现金返回线的推导有疑惑，因而查阅资料，整理出如下推导过程，希望能帮到和我有相似困惑的友友们。

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一、预备知识

1. 三角分布
   现金持有量（R）在H（上限）与L（下限）间波动：
   H-R=2（R-L）=2/3（H-L）
   此处为何要取这样的分布？鉴于三角形分布的特殊性质，三角形分布经常用于商务决策，特别是计算机模拟领域。通常，如果对结果的概率分布所知信息很少，例如仅仅最大值和最小值，那么可以利用平均分布模型。但是如果知道最可能出现的结果（众数），那么就可用三角形分布进行模拟。当现金余额升至H时，可购进（H-R）的有价证券使得现金余额回落到R，当现金余额降至L时，出售（R-L）的有价证券，使得现金余额回到R水平。这里的比例2:1，选择（H-R）大于（R-L）的隐含的前提假设应该是对现金持有量持保守的态度，所以R设的值不大。
2. 现金流量的随机行为
   （1）伯努利试验：
   假设现金流量的随机行为是一串独立的伯努利试验
   假设工作日每天工作t小时，每小时现金余额波动m（m>0）元,增加m元的概率为p,减少m 元的概率为q即(1-p)。
   先求期望值：
   
   当p=q=1/2时，E（x）=0,即得到对称的随机游走。
   接下来求日变动波动率：
   
   （2） 更新定理：（利用独立性证明）
   

二、建立模型

1. 符号说明

符号	含义
T	计算周期
b	每次有价证券的固定转换成本
i	有价证券的日利息率
σ	预期每日现金余额的标准差
E（N）	T时间内交易次数
E（M）	日现金余额
D	两次交易平均间隔

2. 模型假设
   略（参考教材教辅）
3. 模型的建立
   （1）日现金余额管理成本表达式：
   

1）E（N）/T部分处理

由更新定理得从z 开始h结束时间间隔期望D（z,h）=z*(h-z)
之后，此处的z，h需要同时除以m,得到h’,m’作为新的单位为元的变量，式子整体再除以t得到每天的量：

2）E（M）部分处理
借助三角分布，设h为上限，z 为众数，E(M）=（h+z）/3
令l=h-z(方便1部分代入）,由比例关系易得，E(M)=（l+2z）/3
3)求解最优Z值和现金返回线