金融工程第十一章BSM模型复习

BSM模型（一）

复习金融工程第十一章内容，认为这章相关公式推导、模型建立有必要梳理一遍。查阅相关资料，归纳整理如下。

预备知识

期权定价

1. 概念对比
   （1）欧式期权VS美式期权
   欧式期权不可以提前行权，而美式期权可以提前行权（损失时间价值）。但需要注意的是，美式期权价格不一定高于欧式期权价格，需考虑提前行权是否合理。
   （2）看涨期权VS看跌期权
   （3）有红利资产期权VS无红利资产期权

2. 影响期权价格的因素
   （1）标的资产市场价格（行权时，$S_T）$与期权行权价格（K）
   （2）期权剩余期限（T-t）
   （3）标的资产价格变动率（$\sigma$）
   （4）无风险利率（r）
   （5）标的资产的收益（分红付息）

3. 提前行使美式期权合理情况
   （1）无红利资产看涨：提前行权不明智。
   （2）无红利资产看跌：一般来说，只有当实值程度较高，利率较高时，提前行权才有利。
   （3）有红利资产看涨：一般来说，只有当实值程度较高，红利较高，利率较低时，提前行权才有利。
   （4）有红利资产看跌：提前行权可能性较小。

4. 期权期限结构
   波动率期限结构的形成有三种说法：
   （1）价格运动过程并非平稳说：这一说法是指在有效期内基本面的变化会引起标的资产价格预期分布的永久性改变。假如市场预期标的资产将会在某一时期发生重大变化，那么事件发生前后的期权隐含波动率也就会不同。
   （2）波动率非均匀说：这一说法认为实际波动率在不同日期内预期是不一样的，特别是重要事件发生日与其他日差异更加明显。因此波动率应当是期权有效期内发生的事件数量及其重要程度的函数。
   （3）波动率均值回归说：在一个给定的市场中，波动率不能长期保持在极端的水平，而是会回到其长期均衡的水平。我们也可以认为实际波动率从长期来看是一个相对稳定的水平。当波动率水平超过均衡水平时，波动率会回到正常水平，而不是持续维持这种差异。

随机过程

5. 普通布朗运动
   布朗运动（brownian motion）也称为维纳过程，是一个随机过程，如果满足以下性质：
   （1） 独立的增量
   对于任意的t>s, B(t)-B(s)独立于之前的过程B(u) 。
   （2） 正态的增量
   B(t)-B(s)满足均值为0方差为t-s的正态分布。即B(t)-B(s)~ N(0,t-s) 。
   （3） 连续的路径
   B(t), t≥0是关于t的连续函数。固定一条路径， B(t)->B(s) 满足依概率收敛。
   布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学，即它的研究对象是随时间演变的随机现象。所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的几何布朗运动（摘自百度百科）
6. 几何布朗运动
   几何布朗运动 (GBM)（也叫做指数布朗运动）是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动。
   定义：随机过程 St在满足以下随机微分方程 (SDE) 的情况下被认为遵循几何布朗运动：
   dS${}_t$=$\mu$S${}_t$dt+$\sigma$S${}_t$dW${}_t$
   这里 Wt 是一个维纳过程，或者说是布朗运动，而漂移百分比 μ 和波动百分比 σ 则为常量。
7. 伊藤过程
   S${}_t$漂移项和方差本身可能是随机过程。
8. 伊藤引理
   dx${}_t$ =a${}_t$dt+b${}_t$dz${}_t$
   G为x${}_t$与t的确定性函数
   借助泰勒展开:
   $\Delta$G${}_t$$\approx$ $\Delta$x${}_t$$\cdot$$\partial G$ / $\partial x$+ $\Delta$ t$\cdot$$\partial G$ / $\partial t$ + 0.5$\Delta$ x${}_t^2$ $\cdot$ ${\partial }^{2}G$ / $\partial x^2$
   由$\Delta$x${}_t$ =a${}_t$$\Delta$t+b${}_t$ $\epsilon$${}_t$ $\sqrt{\Delta t}$得
   $\Delta$G${}_t$$\approx$ $\Delta$x${}_t$$\cdot$$\partial G$ / $\partial x$+ $\Delta$ t$\cdot$$\partial G$ / $\partial t$ + 0.5$\Delta$t b${}_t^2$ $\epsilon$${}_t^2$ $\cdot$ ${\partial }^{2}G$ / $\partial x^2$
   由E（$\epsilon$${}_t^2$$\Delta$t ）$\approx$ $\Delta$t 得
   $\Delta$G${}_t$= $\Delta$x${}_t$$\cdot$$\partial G$ / $\partial x$+ $\Delta$ t$\cdot$$\partial G$ / $\partial t$ + 0.5$\Delta$t b${}_t^2$ $\cdot$ ${\partial }^{2}G$ / $\partial x^2$