sinc函数卷积_为什么Sinc是完美插值函数

有一天……

小H 在群里问了一个问题：为什么Sinc是最好的插值函数？

老Z 思索了一下，没听说过呀，然后就开始百度，但是只看到结论，没有解释为什么。依老Z经验，当然知道什么个最近临呀，双线性呀，双三次呀，但是真没听过sinc这玩意也是插值函数的说法。于是草草给了一个不是答案的回答：对于边缘丰富的图像，如果直接双线性下采样，会出现边缘锯齿问题，但是双三次方法不会有这问题，而双三次是sinc的近似。

老实说 老Z 的回答真滴是太假了~

然后 大Z 出来质疑了一下 小H 的问题：为啥 sinc 是最好的？

小H ：我看别人是这么写的……其实sinc这个是连续的函数，而存在越高阶导数的函数就越光滑。

老Z 心想这 小H 为啥把话题扯到函数光滑性的定义上了，这是在转移话题吗？

大Z 这时贴了一个 傅立叶 大神的传记。老Z 感叹，傅爷变换那还是十多年前学习的东西，现在基本上已经忘得七七八八了。传记里竟然说 傅爷 晚年研究热原理走火入魔，认为热可以治百病，于是在自己生病时活活把自己热死了。老Z 思索一下，是有那么些伟大的科学家到了晚年有点晚节不保。

端午节放假，老Z 感觉很是无聊，于是想起来了 傅爷变换，把《数字图像处理》这本书给翻了出来瞅了瞅，本来只是想再回忆一下 傅爷变换 的原理细节，没想到看到了 小H 提出的问题的答案。

为了理解傅爷变换，不喜欢只看公式的 老Z 在网上搜到了好几个图解视频教程！感谢伟大的互联网，感谢哔哩哔哩网站！这要是十多年前，想都不敢想有这样多便易的学习资源！

最终，老Z 用一小段话总结了问题的答案：

设：时域信号函数

，它的傅立叶变换是频域函数

。

用符合Nyquist采样定理的合适频率对函数

进行采样（采样函数是一个冲击串），得到函数

，对

进行傅立叶变换得到

。

可以推导出

是

的一个拷贝的无限周期序列。

用一个带宽为

低通滤波器

将

的一个周期给截取出来，这一个周期的函数便是

。截取操作用公式可以表示为：

。

获得了

后，再傅立叶反变换回去，得到原始信号函数

。

设：低通滤波器

的傅立叶反变换是

。而频域中的相乘操作对应的是时域的卷积操作：

。低通滤波器是一个盒子函数，可以推导出来

。

因此，

是完美的重建函数，或称为完美插值函数。在实际使用中，用它的近似表达，即：最近临法，双线性插值，双三次插值。

上面也不能说是一小段话喽，信息量还是很大的。也许十年后，当我再看这段话时，我自己都看不懂了。

我会抽时间把这种解释再用一些图像公式扩展一下，当然，是抽时间，如果真抽不出来，或是比较懒，那就……呵呵了……