机器学习笔记之概率图模型(二)贝叶斯网络的结构表示

引言

上一节介绍了概率图模型的背景以及相关任务。本节将从有向图(贝叶斯网络)出发，介绍贝叶斯网络的结构表示(Representation)。

回顾：

概率图的本质

概率图模型这个概念想要表达的核心是：变量之间的相关性信息。实际上，在朴素贝叶斯分类器一节中，就已经对这个相关性信息进行了初步探索。

在介绍朴素贝叶斯假设与高斯判别分析之间的区别时，两者之间的主要区别在于：相比于高斯判别分析对整个数据集合的概率分布$\mathcal{P}(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})$进行假设，朴素贝叶斯分类器对$\mathcal{P}(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})$的假设更加细致，它的想法精确到了样本$\mathcal{X}$的各个维度。

• 以二分类为例，高斯判别分析的假设表示如下：
  $$\begin{gathered} \mathcal{Y}\sim Bernoulli(\varphi ) \\ \mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=0\sim \mathcal{N}({\mu }_1,\Sigma ) \\ \mathcal{X}\mid \mathcal{Y}=1\sim \mathcal{N}({\mu }_2,\Sigma ) \end{gathered}$$

  这里关注的重点在于：无论样本集合$\mathcal{X}$的维度是多少，在标签$\mathcal{Y}$确定的条件下，$\mathcal{X}$的每个维度均服从相同的概率分布。

• 依然以二分类为例，朴素贝叶斯的假设表示如下：
  $$\begin{gathered} x_i\perp x_j\mid \mathcal{Y}(i,j\in \{1,2,\cdots ,p\};i\ne j;\mathcal{Y}\in \{0,1\}) \\ \begin{array}{rl}\mathcal{P}(\mathcal{X}\mid \mathcal{Y})& =\mathcal{P}(x_1,\cdots ,x_p\mid \mathcal{Y})\\ & =\prod _{i=1}^p\mathcal{P}(x_i\mid \mathcal{Y})\end{array} \end{gathered}$$
  虽然这个假设非常简单，以至于假设的条件非常苛刻，但是该模型确实对样本集合的维度进行了更加细致的假设。

而概率图模型相比于朴素贝叶斯假设以及马尔可夫性质，它对变量/特征们的约束更加宽松，基于条件独立性假设，将变量/特征们之间的关联关系表示为图结构：

• 若变量/特征们之间存在显示的因果关系(在概率图中结点之间可用箭头连接)，则使用 贝叶斯网络构建概率图；
• 若变量/特征们之间仅知道存在相关性(在概率图中即结点之间存在边，但箭头方向未知)，则使用 马尔可夫网络/马尔可夫随机场构建概率图。

条件独立性与链式法则

针对样本集合$\mathcal{X}$的 概率分布/概率模型$\mathcal{P}(\mathcal{X})$，我们从维度角度观察，可将$\mathcal{P}(\mathcal{X})$看作成各维度信息的联合概率分布形式：
$$\mathcal{P}(\mathcal{X})=\mathcal{P}(x_1,x_2,\cdots ,x_p)$$
针对联合概率分布的求解，最朴素的方法是条件概率的链式法则：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{P}(x_1,x_2,x_3)& =\mathcal{P}(x_1)\cdot \mathcal{P}(x_2\mid x_1)\cdot \mathcal{P}(x_3\mid x_1,x_2)\\ \mathcal{P}(x_1,\cdots ,x_p)& =\mathcal{P}(x_1)\cdot \prod _{i=2}^p\mathcal{P}(x_i\mid x_1,\cdots ,x_{i-1})\end{array}$$

由于$\mathcal{X}$维度过高的情况下，链式法则求解$\mathcal{P}(x_1,\cdots ,x_p)$的计算量极高，因为链式法则中，任意两个特征/变量我们都要求解其关联关系。

而条件独立性在 最小化约束特征之间关系的同时，还可以极大程度地简化运算：
$$x_{\mathcal{A}}\perp x_{\mathcal{B}}\mid x_{\mathcal{C}}$$
其中$x_{\mathcal{A}},x_{\mathcal{B}},x_{\mathcal{C}}$表示一个或者多个变量/特征组成的集合，并且$x_{\mathcal{A}},x_{\mathcal{B}},x_{\mathcal{C}}$内元素互不相交。
而条件独立性的文字描述 即：在$x_{\mathcal{C}}$中变量给定的条件下，$x_{\mathcal{A}},x_{\mathcal{B}}$变量之间相互独立。

贝叶斯网络与条件独立性

条件概率对边的方向性表达

贝叶斯网络根据条件独立性，通过有向图 对联合概率分布进行表达。
一个贝叶斯网络由结构表示$\mathcal{G}$和参数集合$\Theta$两部分构成，而$\mathcal{G}$是一个 有向无环图，每个结点对应一个随机变量/特征；两个结点之间连接的边表示两结点之间存在显示的因果关系，从而使用$\Theta$集合中两结点的对应结果表示这种关系。
注意关于结点的描述：无论是视频还是西瓜书，都对结点的描述是‘一个属性/特征’，而不是特征集合的形式。欢迎小伙伴一起讨论。
示例1：以两个结点的贝叶斯网络为例：

观察上述有向图，我们使用条件概率对该有向边的方向性进行表示。具体表示如下：
由于整个‘贝叶斯网络’只有一条有向边，因此‘参数集合’$\Theta$表示该有向边的条件概率信息。
$$\mathcal{P}(i_2\mid i_1)=\Theta$$
假设特征$i_1,i_2$均服从伯努利分布，参数集合$\Theta$示例如下：
明显是一个‘右随机矩阵’~

	$i_1=0$	$i_1=1$
$i_2=0$	$0.1$	$0.9$
$i_2=1$	$0.7$	$0.3$

因此，上述概率图中有向边的方向性可以进行如下表达：
$$\mathcal{P}(i_2=0\mid i_1=1)=0.9$$

基于贝叶斯网络列出联合概率分布

如何表示上述贝叶斯网络的联合概率分布，即$\mathcal{P}(i_1,i_2)$?

• 首先找到入度为零的结点，并指定该特征的概率为边缘概率。在当前概率图中，入度为零的结点时$i_1$，它的概率结果表示为：$\mathcal{P}(i_1)$。
  由于‘入度为零’的结点的概率不需要其他结点作为条件而发生，因此时边缘概率。
• 找出图中的有向边，并对有向边的方向性进行表达：
  $$\mathcal{P}(i_2\mid i_1)$$
• 此时，图中全部结点和有向边全部表示完成，联合概率分布表示如下：
  $$\mathcal{P}(i_1,i_2)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)$$

示例2：构造一个稍复杂的贝叶斯网络如下：

根据上述步骤，联合概率分布表示如下：

• 找出入度为零结点$i_1\to \mathcal{P}(i_1)$；
• 图中一共包含$3$条有向边，对应条件概率表示如下：
  $$\mathcal{P}(i_2\mid i_1),\mathcal{P}(i_3\mid i_1),\mathcal{P}(i_4\mid i_2)$$
• 最终联合概率分布$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3,i_4)$表示如下：
  $$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3,i_4)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_4\mid i_2)$$

基于联合概率分布构建概率图

如何基于给定的联合概率分布构建概率图？
使用拓扑排序的顺序进行构建。
示例3：已知联合概率分布表示如下：
$$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3,i_4,i_5)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_4\mid i_1,i_2)\cdot \mathcal{P}(i_5\mid i_2)$$

• 首先，找到入度为零的结点，即拓扑排序的初始结点，在联合概率分布中，该结点即 写成边缘概率分布形式的结点，这里是指$i_1,i_2$，并将该结点存储起来：
  
• 基于该结点，分别找到以入度为零结点或者其联合概率分布作为条件的条件概率：这里是指$\mathcal{P}(i_3\mid i_1)，\mathcal{P}(i_5\mid i_2)\mathcal{P}(i_4\mid i_1,i_2)$。并将探索到的结点$i_3,i_5,i_4$存储起来；
  
• 观察联合概率分布中的各项是否表示完成，若未完成，查找以存储结点或者其联合概率分布为条件，查找满足条件的项，从而找出新的结点。如果完成，则结束查找。

基于上述逻辑，如果给定贝叶斯网络的表达方式，我们可以根据贝叶斯网络写出各结点的联合概率分布：
称其为’因子分解‘。
$$\mathcal{P}(x_1,x_2,\cdots ,x_p)=\prod _{i=1}^p\mathcal{P}(x_i\mid x_{pa(i)})$$
其中$x_{pa(i)}$表示结点$x_i$的父结点组成的集合。所谓父结点，即通过有向边指向结点$x_i$的结点。可以看出，父结点可能不唯一，如上图中的$i_4$结点，其父结点包含两个：$i_1,i_2$。

对比原始联合概率分布表达和基于概率图产生的联合概率分布：
$$\{\begin{array}{l}\mathcal{P}(x_1,\cdots ,x_p)=\mathcal{P}(x_1)\cdot {\prod }_{i=2}^p\mathcal{P}(x_i\mid x_1,\cdots ,x_{i-1})\\ \mathcal{P}(x_1,x_2,\cdots ,x_p)={\prod }_{i=1}^p\mathcal{P}(x_i\mid x_{pa(i)})\end{array}$$
明显可以看出基于概率图产生的联合概率分布，它的条件项部分明显减少了：
将原始条件中的$i-1$个结点减少为若干个存在关联关系的’父结点‘。这种操作极大程度地简化了运算。
$$x_1,x_2,\cdots ,x_{i-1}\to x_{pa(i)}$$
关于概率图的逻辑：
之所以可以使用 因子分解 的方式表达联合概率分布，是基于概率图能够表达概率模型$\mathcal{P}(\mathcal{X})$中的条件独立性。如果概率图不能表达特征中的条件独立性，概率图自身无意义。

相反，并不是所有的概率模型都可以使用概率图进行表达，如果样本集合$\mathcal{X}$的概率模型$\mathcal{P}(\mathcal{X})$自身没有条件独立性，概率图自然也无法构建出来。

概率图中条件独立性的识别

同父结构

假设已知存在一个概率图，该概率图内部存在如下形状：

我们称该结构为同父结构(Common Parent)，即结点$i_2,i_3$存在相同的父结点$i_1$。该结构中表现出的现象是：给定父结点$i_1$的取值，则$i_2,i_3$条件独立。具体推导如下：

• 首先通过因子分解描述该形状的联合概率分布$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3)$：
  $$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1)$$
• 再通过联合概率分布的链式法则求解联合概率分布$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3)$：
  链式法则就和’概率图‘没有什么关系了,它是一直成立的。
  $$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)$$
• 这两个公式描述的是同一个概率分布，则有：
  $$\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)$$
  消去$\mathcal{P}(i_1),\mathcal{P}(i_2\mid i_1)$，有：
  但从该式观察，$i_2$无论是否作为条件发生，都不会影响$i_3$的条件概率结果，这实际上已经证明了$i_2,i_3$相互独立。
  $$\mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)=\mathcal{P}(i_3\mid i_1)$$
• 基于上述等式，最优两端同乘$\mathcal{P}(i_2\mid i_1)$：
  $$\begin{gathered} \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)=\mathcal{P}(i_3\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1) \\ \mathcal{P}(i_2,i_3\mid i_1)=\mathcal{P}(i_3\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1) \end{gathered}$$
  该公式意味着：结点$i_1$给定的条件下，$i_2,i_3$的联合概率分布结果等于各自条件概率的乘积结果。即 给定$i_1$条件下，$i_2,i_3$相互独立：
  $$i_2\perp i_3\mid i_1$$

如果从概率图本身角度出发，同父结构 本身就蕴含了条件独立性。而并非是将条件独立性强加给同父结构产生的结果。后续结构同理。

顺序结构

假设概率图中存在如下形状：

我们称该结构为顺序结构，即$i_1,i_2,i_3$三个结点首位相连。该结构表现的现象是：当$i_2$被观测时，$i_1,i_3$相互独立。具体推导过程如下：

• 通过因子分解描述顺序结构情况下的联合概率分布：
  将‘同父结构’与‘顺序结构’的联合概率分布进行对比，只是最后一项存在差异，但推导过程与‘同父结构’中完全相同。
  $$\{\begin{array}{l}\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1)CommonParent\\ \mathcal{P}(i_1,i_2,i_3)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_2)Sequence\end{array}$$
• 对应的链式法则表示结果：
  $$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)$$
• 两联合概率取等，有：
  $$\begin{gathered} \mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_2) \\ \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)=\mathcal{P}(i_3\mid i_2) \end{gathered}$$
• 等式两边同乘$\mathcal{P}(i_1\mid i_2)$：
  $$\begin{gathered} \mathcal{P}(i_1\mid i_2)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)=\mathcal{P}(i_3\mid i_2)\cdot \mathcal{P}(i_1\mid i_2) \\ \mathcal{P}(i_1,i_3\mid i_2)=\mathcal{P}(i_3\mid i_2)\cdot \mathcal{P}(i_1\mid i_2) \end{gathered}$$
  该公式意味着：结点$i_2$给定的条件下，$i_1,i_3$的联合概率分布结果等于各自条件概率的乘积结果。即 给定$i_2$条件下，$i_1,i_3$相互独立：
  $$i_1\perp i_3\mid i_2$$

$\mathcal{V}$型结构

$\mathcal{V}$型结构(V-structure)也称冲撞结构，其对应形状表示如下：

该结构表现的现象是：结点$i_3$给定的条件下，$i_1,i_2$必不独立；若$i_3$结点取值未知，$i_1,i_2$相互独立。

对该现象进行解释：
针对该现象的个人理解，只能解释后半部分，而前半部分是后半部分对立条件下产生的结果。
首先解释什么是给定，什么是未知？
回顾条件概率的定义式：
$$\mathcal{P}(\mathcal{A}\mid \mathcal{B})$$
上式是指事件$\mathcal{A}$在另外一个事件$\mathcal{B}$已经发生条件下的发生概率。这句话中，我们能够得到两个信息：

• 事件$\mathcal{B}$是 已经发生的，是给定的；
• 事件$\mathcal{A}$发生是以概率的形式表现的。因此，事件$\mathcal{A}$是否发生是未知的。

回顾顺序结构和同父结构，它们的描述与对应的概率结果是同步的：

• 顺序结构：给定$i_2$条件下，则$i_1,i_3$相互独立：
  $i_2$在‘|’后面，它是给定的。
  $$\mathcal{P}(i_1,i_3\mid i_2)=\mathcal{P}(i_3\mid i_2)\cdot \mathcal{P}(i_1\mid i_2)$$
• 同父结构：给定$i_1$条件下，则$i_2,i_3$条件独立：
  $i_1$在'|'后面，它是给定的。
  $$\mathcal{P}(i_2,i_3\mid i_1)=\mathcal{P}(i_3\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)$$

根据上面的规律，有：
在条件概率的条件部分('|'后面)，就是给定的；在条件概率的概率部分(‘|’前面)，就是未知的。

至此，我们针对$\mathcal{V}$型结构的推导如下：

• 通过因子分解描述$\mathcal{V}$型结构情况下的联合概率分布：
  $$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)$$
• 通过链式法则求解$\mathcal{V}$型结构情况下的联合概率分布：
  $$\mathcal{P}(i_1,i_2,i_3)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)$$
• 上述两个联合概率分布取等。有：
  $$\begin{gathered} \mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)=\mathcal{P}(i_1)\cdot \mathcal{P}(i_2\mid i_1)\cdot \mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2) \\ \mathcal{P}(i_2)=\mathcal{P}(i_2\mid i_1) \end{gathered}$$

观察上述等式，$i_1$是否作为条件对$i_2$的概率均不产生影响，即 $i_1,i_2$相互独立。
但是此时的相互独立是建立在$i_3$给定还是未知的条件下成立的？

回头观察$i_3$在条件概率$\mathcal{P}(i_3\mid i_1,i_2)$的位置：在‘|’前面，说明$i_3$是未知的。因此有了结论的后半部分：若$i_3$结点取值未知，$i_1,i_2$相互独立。

下一节将介绍贝叶斯网络结构表示中的有向分离，即$\mathcal{D}$划分。

相关参考：
机器学习-周志华著
条件概率-百度百科
机器学习-概率图模型2-贝叶斯网络-Representation-条件独立性