GBDT算法原理以及实例理解（含Python代码简单实现版）

一、算法简介：

GBDT 的全称是 Gradient Boosting Decision Tree，梯度提升树，在传统机器学习算法中，GBDT算的上是TOP前三的算法。

想要理解GBDT的真正意义，那就必须理解GBDT中的Gradient Boosting和Decision Tree分别是什么？

1. Decision Tree：CART回归树
首先，GBDT使用的决策树是CART回归树，无论是处理回归问题还是二分类以及多分类，GBDT使用的决策树通通都是都是CART回归树。

为什么不用CART分类树呢？因为GBDT每次迭代要拟合的是梯度值，是连续值所以要用回归树。

对于回归树算法来说最重要的是寻找最佳的划分点，那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。

在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数，都是用纯度来衡量的，但是在回归树中的样本标签是连续数值，所以再使用熵之类的指标不再合适，取而代之的是平方误差，它能很好的评判拟合程度。

2.回归树生成算法：

输入：训练数据集$D$

输出：回归树$f(x)$

在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树:

1）选择最优切分变量$j$与切分点$s$，求解:
$$\underset{j,s}{\min }[\underset{c_1}{\min }\sum _{x_i\in R_1(j,s)}(y_i-c_1{)}^2+\underset{c_2}{\min }\sum _{x_i\in R_2(j,s)}(y_i-c_2{)}^2$$

遍历变量$j$，对固定的切分变量$j$扫描切分点$s$，选择使得上式达到最小值的对$(j,s)$。

（2）用选定的对$(j,s)$划分区域并决定相应的输出值：

$$R_1(j,s)=x|x^{(j)}\le s,R_2(j,s)=x|x^{(j)}>s$$
$$\widehat{c_m}=\frac{1}{N}\sum _{x_i\in R_m(j,s)}{y}_i,m=1,2$$

（3）继续对两个子区域调用步骤（1）和（2），直至满足停止条件。

（4）将输入空间划分为$M$个区域$R_1,R_2,\cdots ,R_m$，生成决策树：

$$f(x)=\sum _{m=1}^M\widehat{c_m}I(x\in R_m)$$

3. Gradient Boosting：拟合负梯度

梯度提升树（Grandient Boosting）是提升树（Boosting Tree）的一种改进算法，所以在讲梯度提升树之前先来说一下提升树。

我们用上一篇文章的例子来理解：

假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁；我们去你和损失，拟合的数值为6岁，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。最后将每次拟合的岁数加起来便是模型输出的结果。

提升树算法：

（1）初始化$f_0(x)=0$

（2）对$m=1,2,\dots ,M$:

1)计算残差$r_{mi}=y_i-f_{m-1}(x_i),i=1,2,\cdots ,N$

2)拟合残差$r_{mi}$学习一个回归树，得到$h_m(x)$

3)更新$f_m(x)=f_{m-1}(x)+h_m(x)$

（3）得到回归问题提升树

$$f_M(x)=\sum _{m=1}^M{h}_m(x)$$

上面伪代码中的残差是什么？

在提升树算法中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是$f_{t-1}(x)$，损失函数是$L(y,f_{t-1}(x))$，我们本轮迭代的目标是找到一个弱学习器$h_t(x)$，最小化本轮的损失$L(y,f_t(x))=L(y,f_{t-1}(x)+h_t(x))$。

当采用平方损失函数时:

$$L(y,f_{t-1}(x)+h_t(x))=(y-f_{t-1}(x)-h_t(x){)}^2=(r-h_t(x){)}^2$$

这里:$r=y-f_{t-1}(x)$，是当前模型拟合数据的残差（residual）。

所以，对于提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差。

回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中，第一次迭代的残差是10岁，第二次残差4岁…

当损失函数是平方损失和指数损失函数时，梯度提升树每一步优化是很简单的，但是对于一般损失函数而言，往往每一步优化起来不那么容易，针对这一问题，Freidman提出了梯度提升树算法，这是利用最速下降的近似方法，其关键是利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差的近似值。那么负梯度长什么样呢？第$t$轮的第$i$个样本的损失函数的负梯度为：

$$-[\frac{\partial L(y,f(x_i))}{\partial f(x_i)}{]}_{f(x)=f_{t-1}(x)}$$

此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度，如果选择平方损失:

$$L(y,f(x_i))=\frac{1}{2}(y-f(x_i){)}^2$$

负梯度为:

$$-[\frac{\partial L(y,f(x_i))}{\partial f(x_i)}{]}_{f(x)=f_{t-1}(x)}=y-f(x_i)$$

此时我们发现GBDT的负梯度就是残差，所以说对于回归问题，我们要拟合的就是残差。

那么对于分类问题呢？二分类和多分类的损失函数都是log loss，本文以回归问题为例进行讲解。

4. GBDT算法原理

上面两节分别将Decision Tree和Gradient Boosting介绍完了，下面将这两部分组合在一起就是我们的GBDT了。

GBDT算法：

（1）初始化弱学习器

$$f_0(x)=\arg \underset{c}{\min }\sum _{i=1}^{N}L(y_i,c)$$

（2）对$m=1,2,\dots ,M$有：

1）对每个样本$i=1,2,\dots ,N$，计算负梯度，即残差:

$$r_{im}=-[\frac{\partial L(y_i,f(x_i))}{\partial f(x_i)}{]}_{f(x)=f_{m-1}(x)}$$

2）将上步得到的残差作为样本新的真实值，并将数据$(x_i,r_{im}),,i=1,2,\cdots ,N$作为下棵树的训练数据，得到一颗新的回归树$f_m(x)$，其对应的叶子节点区域为$R_{jm},j=1,2,\cdots ,J$。其中$J$为回归树$t$的叶子节点的个数。

3）对叶子区域$j=1,2,..J$计算最佳拟合值

$${{\rm Y}}_{jm}=\arg \underset{{\rm Y}}{\min }\sum _{x_i\in R_{jm}}L(y_i,f_{m-1}(x_i)+{\rm Y}$$

4）更新强学习器:

$$f_m(x)=f_{m-1}(x)+\sum _{j=1}^J{{\rm Y}}_{jm}I(x\in R_{jm})$$

（3）得到最终学习器

$$f(x)=f_M(x)=f_0(x)+\sum _{m=1}^M\sum _{j=1}^J{{\rm Y}}_{jm}I(x\in R_{jm})$$

二、实例详解

数据介绍：

如下表所示：一组数据，特征为年龄、体重，身高为标签值。共有5条数据，前四条为训练样本，最后一条为要预测的样本。

编号	年龄（岁）	体重（kg）	身高（cm）（标签值）
0	5	20	1.1
1	7	30	1.3
2	21	70	1.7
3	30	60	1.8
4（预测）	25	65	?

训练阶段：

参数设置：

学习率：learning_rate=0.1

迭代次数：n_trees=5

树的深度：max_depth=3

1.初始化弱学习器:

$$f_0(x)=\arg \underset{c}{\min }\sum _{i=1}^{N}L(y_i,c)$$

损失函数为平方损失，因为平方损失函数是一个凸函数，直接求导，倒数等于零，得到$c$。

$$\sum _{i=1}^N\frac{\partial L(y_i,c)}{\partial c}=\sum _{i=1}^N\frac{\partial (\frac{1}{2}(y_i-c{)}^2)}{\partial c}=\sum _{i=1}^N(c-y_i)$$

令导数等于0:

$$\sum _{i=1}^N(c-y_i)=0\Rightarrow c=\sum _{i=1}^N{y}_i/N$$

所以初始化时，c取值为所有训练样本标签值的均值:

$$c=(1.1+1.3+1.7+1.8)/4=1.475$$

此时得到初始学习器：

$$f_0(x)=c=1.475$$

2.对迭代轮数m=1，2,…,M

由于我们设置了迭代次数：n_trees=5，这里的M=5。

计算负梯度，根据上文损失函数为平方损失时，负梯度就是残差残差，再直白一点就是y与上一轮得到的学习器$f_{m-1}(x)$的差值:

$$r_{i1}=-[\frac{\partial L(y_i,f(x_i))}{\partial f(x_i)}{]}_{f(x)=f_0(x)}$$

残差在下表列出：

编号	真实值	初始值	残差
0	1.1	1.475	-0.375
1	1.3	1.475	-0.175
2	1.7	1.475	0.225
3	1.8	1.475	0.325

此时将残差作为样本的真实值来训练弱学习器$f_1(x)$，即下表数据：

编号	年龄	体重（kg）	标签值
0	5	20	-0.375
1	7	30	-0.175
2	21	70	0.225
3	30	60	0.325

接着，寻找回归树的最佳划分节点，遍历每个特征的每个可能取值。从年龄特征的5开始，到体重特征的70结束，分别计算分裂后两组数据的平方损失，左节点平方损失为$S{E}_l$，右节点平方损失为$S{E}_r$。

找到使平方损失和$S{E}_{sum}=S{E}_l+S{E}_r$最小的那个划分节点，即为最佳划分节点。

例如：以年龄7为划分节点，将小于7的样本划分为到左节点，大于等于7的样本划分为右节点。

左节点包括$x_0$，右节点包括样本$x_1,x_2,x_3$。$S{E}_l=0，S{E}_r=0.14，S{E}_{sum}=S{E}_l+S{E}_r=0.14$

我们所有可能划分情况如下表所示：

划分点	小于划分点的样本	大于等于划分点的样本	SE_l	SE_r	SE_sum
年龄5	无	0，1，2，3	0	0.3275	0.3275
年龄7	0	1，2，3	0	0.14	0.14
年龄21	0，1	2，3	0.02	0.005	0.025
年龄30	0，1，2	3	0.1866	0	0.1866
体重20	无	0，1，2，3	0	0.3275	0.3275
体重30	0	1，2，3	0	0.14	0.14
体重60	0，1	2，3	0.02	0.005	0.025
体重70	0，1，3	2	0.26	0	0.26

以上划分点是的总平方损失最小为0.025有两个划分点：年龄21和体重60，所以随机选一个作为划分点：

我们生成第一棵树为:

根据上图，我们的划分依据为：

选择的划分标准为体重，小于45kg的分为一类，为样本0和1；大于等于45kg的分为一类，为样本2和3。

第一次分开后再以年龄作为选择方式，左支中以6岁为分界线，将样本0和1分开；右支以25.5岁为分界线，将样本2和3分开。

计算残差，并把残差当做目标值训练第一棵树

这里其实和上面初始化学习器是一个道理，平方损失求导，令导数等于零，化简之后得到每个叶子节点的参数$y$，其实就是标签值的均值。这个地方的标签值不是原始的$y$，而是本轮要拟合的标残差$y-f_0(x)$。

此时，第一棵树如下所示：

根据上述划分结果，为了方便表示，规定从左到右为第0，1，2，3样本：
$$x_0\in R_{11}{{\rm Y}}_{11}=-0.375$$
$$x_1\in R_{21}{{\rm Y}}_{21}=-0.175$$
$$x_2\in R_{31}{{\rm Y}}_{31}=0.225$$
$$x_3\in R_{41}{{\rm Y}}_{41}=0.325$$

此时可更新强学习器，需要用到参数学习率：learning_rate=0.1，在公式中我们用l来表示：

$$f_1(x)=f_0(x)+l\ast \sum _{j=1}^4{{\rm Y}}_{j1}I(x\in {\mathbb{R}}_{j1})$$

为什么要用学习率呢？这是Shrinkage的思想，如果每次都全部加上（学习率为1）很容易一步学到位导致过拟合。

Shrinkage的思想我后面会介绍：

我们看一下第二棵树：

我们看第三棵树为:

第四棵树为：

第五棵树为：

得到最后的强学习器：
$$f(x)=f_5(x)=f_0(x)+\sum _{m=1}^5\sum _{j=1}^4{{\rm Y}}_{jm}I(x\in {\mathbb{R}}_{jm})$$

三、预测样本4

样本4为25岁，65kg。

$f_0(x)=1.475$

在$f_1(x)$中，体重65kg大于45kg（90斤），所以分到右节点；又因为年龄为25岁小于25.5，所以最终的预测值为0.225；

在$f_2(x)$中，最终预测为0.2025；

在$f_3(x)$中，最终预测为0.1822；

在$f_4(x)$中，最终预测为0.164；

在$f_5(x)$中，最终预测为0.1476；

最终预测结果：
$$f(x)=1.475+0.1\ast (0.225+0.2025+0.1822+0.164+0.1476)=1.56713$$

四、调用GBDT算法包

我们使用sklearn中的GBDT算法包来实现，生成的树为：

此时，我们预测的结果为0.1919。

五、源代码

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
import numpy as np
from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
import pandas as pd
import pydotplus
from pydotplus import graph_from_dot_data
from sklearn.tree import export_graphviz

data_1=[[5,40,1.1],[7,60,1.3],[21,140,1.7],[30,120,1.8]]
data=pd.DataFrame(data_1,columns=['age','weight','标签'])

X=np.array(data.iloc[:,:-1]).reshape((-1,2))
y=np.array(data.iloc[:,-1]).reshape((-1,1))
tree_reg1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg1.fit(X, y)
y2 = y - np.array([1.475]*4).reshape((-1,1))
tree_reg2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg2.fit(X, y2)
y3 = y2 - 0.1*np.array(tree_reg2.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg3 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg3.fit(X, y3)
y4 = y3 - 0.1*np.array(tree_reg3.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg4 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg4.fit(X, y4)
y5 = y4 - 0.1*np.array(tree_reg4.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg5 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg5.fit(X, y5)
y6 = y5 - 0.1*np.array(tree_reg5.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg6 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg6.fit(X, y6)

estimator=GradientBoostingRegressor(random_state=10)
estimator.fit(data.iloc[:,:-1],data.iloc[:,-1])
dot_data = export_graphviz(estimator.estimators_[5,0], out_file=None, filled=True, rounded=True, special_characters=True, precision=4)
graph = pydotplus.graph_from_dot_data(dot_data)
graph.write_pdf('estimator.pdf')