三门问题、蒙特卡洛算法

1、蒙特卡洛算法
什么是蒙特卡洛算法？

        蒙特·卡罗（ Monte Carlo method），又称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中叶由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

起源：

        蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺依曼首先提出。数学家冯·诺依曼用驰名世界的赌城——摩纳哥的Monte Carlo——来命名这种方法，为它蒙上一层神秘色彩。公认的蒙特卡洛方法的起源是1777年法国数学家布丰提出用投针实验的方法求圆周率π。

基本思想：

        当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

工作步骤：

①构造或描述概率过程
②实现从已知概率分布抽样
③建立各种估计量

2、三门问题

三门问题（Monty Hall probelm）亦称为蒙提霍尔问题，出自美国电视游戏节目Let’s Make a Deal。
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门则各藏有一只山羊。
当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的几率？如果严格按照上述条件，即主持人清楚地知道，自己打开的那扇门后面是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3,，换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

蒙特卡洛思想的应用

应用蒙特卡洛重点在使用随机数来模拟类似于赌博问题的赢率问题，并且通过多次模拟得到所要计算值的模拟值。
在三门问题中，用0、1、2分代表三扇门的编号，在[0,2]之间随机生成一个整数代表奖品所在门的编号prize，再次在[0,2]之间随机生成一个整数代表参赛者所选择的门的编号guess。用变量change代表游戏中的换门（true）与不换门（false）。

蒙特卡洛过程

 代码示例：

 

运行结果：