超越计算复杂性—— 试错、能动和智能

独立研究员-美国纽约

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2022年1月25日

✯ 感谢我妻子对我的一贯支持。

摘  要

  计算复杂性是计算机科学的核心之一。计算复杂性和物理性质有类似之处：一个问题的计算复杂性规定了该问题的基本性质，即难易程度，如果复杂性超过X定程度，计算就成为实际上不可能。现代密码学就建立在此原理之上。但是，另X方面，有非常多的问题具备很高复杂性，但我们又不得不面对它们。事实上，很多人工智能所面对的问题都如此。这就提出了一个重大问题：对待这些具有高度复杂性的问题，有没有更好的方法？我们认为，智能科学里面的思想和方法可以应用于这些问题，帮助我们超越计算复杂性。本文中我们试图理清这里面的各种关系，为此提出了非特例计算，针对特例的计算，计算体的智能，能动搜索等定义。我们还提出并且讨论了试错，能动和智能的方法。数组等分问题是一个著名的NP-完全问题，我们用此问题作为案例，来说明本文的思想。

Keywords:  计算复杂性，试错，机器的能动，智能，计算体，非特例计算，针对特例的计算，数组等分问题

最好的好人，都是犯过错误的过来人；一个人往往因为有8点小小的缺点，将来会变得更好。

—黑格尔

生命的力量，尤其是心灵的威力，就在于它本身设立矛盾，忍受矛盾，克服矛盾。

—莎士比亚

思想等等是主观的东西，做或行动是主观见之于客观的东西，都是人类特殊的能动性。这种能动性，我们名之曰“自觉的能动性”，是人之所以区别于物的特点。 

—毛泽东

1  导论

计算技术和计算理论，从图灵的时代算起，已经有快90年的历史。这期间，一切都迅猛发展，从硬件到软件，从理论到实际应用，从科学到工程，再到今天的人工智能热潮，处处显露计算技术 和理论的内在活力。但是，万变不离其宗，计算技术和理论的终极关心仍然是：究竟什么是理论 上可以计算的？究竟什么是实际上可以计算的？怎样才能扩大我们实际的计算能力？怎样才能 把这种能力应用于工程和科学问题，包括人工智能的问题？

而这些问题的一个焦点就在于计算复杂性。计算复杂性是当今计算机科学的最核心部分，它研究计算一个问题需要用多少时间和用多少存储空间。通常，计算问题是有尺度的，例如矩阵的 大小，待分解的整数的位数，自动驾驶的环境复杂度，视觉识别的精度，等等。计算的复杂度随问题的尺度增长而增长，可能增长得比较慢，一般用多项式增长来表达这种增长，也可能增长 得很快，一般用指数级增长来表达。一般认为复杂度指数级增长的问题是非常困难的。最典型的例子就是大正整数的因素分解。这就是指数级增长的，是极端困难的计算问题，而这种情况 就成了加密信息的理论基础。

计算复杂度高的问题无疑是非常困难的，然而，我们并不能对这些问题置之不顾，我们不得不 面对这些问题。人工智能与这些具备高度计算复杂性的问题更是密不可分的。一方面，在人工智 能的各种计算中，不可避免地会遭遇这些具备高度复杂性的问题。如人脸识别就是一个NP-完全问题[12]。另一方面，当我们面对这些困难问题，就不得不试图超越计算复杂性，这就要求我们采用智能的方法来实现超越。非常可能，生物体正是在面对高度计算复杂性时，才逐渐发展 和提高了自身的智能。在此意义上，当我们面对高度计算复杂性时，出于必需而采取各种已知的智能方法，或者开发出新的智能方法，正是发展人工智能的必然途径。

超越计算复杂性是非常困难的事情，更是非常有争议的事情。是否采用智能方法就可以超越计算复杂性？目前并没有坚实的理论来支持，当然也没有确定的理论来截然否定。因此，我们在本 文中试图对此做初步探讨。我们试图清理出一个讨论框架，以方便进一步探索。事实上，促使我们在这个方向上做研究，在很大程度上是因为：当我们在研究数组等分问题在P vs NP问题中 的作用时[1]，我们发现数组等分问题中有的特例看起来非常困难，但是其实容易解，但是又的 确存在一些非常难解的特例（正如Scott Aaronson所讲的那样，在P和NP之间，有一个无形的但 是又非常隐秘曲折的分界，非常让人困惑[10]）。当我们面对这些困惑一再思考后，我们逐渐发 现，智能若隐若现于其中。

在本文，我们提出这样的思路：对那些具备高度计算复杂性的计算问题，我们应该采取具备智 能的方法去处理，这样就有可能仅用较少的资源去解决高难度的问题。我们还提出一种有可能实现这样的智能的框架，即试错规程+能动搜索。我们还把此思路用于数组等分问题。这个问题 是著名的Karp 25个NP-完全问题之一，它可以帮助我们理清这里的思路。事实上，正是在思考 这个问题时，我们才逐渐发展出本文的思想。

本文中，在第2节，我们首先讨论了计算的极限，特别是规定了非特例计算和针对特例的计算，并且从两者的关系讨论了计算复杂性给出的限制。在第3节，我们讨论超越计算复杂性和智能， 规定了计算体的智能。在第4节，我们提出超越计算复杂性的一种框架，那就是试错规程和能动搜索。在第5节，我们用数组等分问题为例，来说明我们的论点。最后，我们做一些更广泛的讨论。

2   计算的极限——计算复杂性

计算机科学中的一个核心组成部分是计算理论。在发展的早期，计算理论特别专注于可计算性 等理论问题上，即研究什么是可以用计算机来计算的。在可计算性逐步得以理清后，计算复杂性就逐渐成为了计算理论的核心。这就是说，计算理论不再特别关注是否可以计算，因为那已 经有了明确的理论去理解，而是集中注意力到计算的难度究竟有多大。可计算性和计算复杂性是两个密切相关联但是又非常不同的事情。Scott Aaronson对此事有一个很好的评论：“On the one hand, the new task is “easier”because we’ve restricted ourselves to questions with only finitelymanypossibleanswers,eachofwhichiseasytoverifyorruleout.Ontheotherhand,the task is “harder” because we now insist on a fast procedure:  one that avoidsthe exponential explosioninherentinthebrute-forceapproach.”[10]就是说，计算复杂性从一方面讲比可计算性简单，因为计算复杂性是在明确了可计算后才讨论的。但是另一方面又更具挑战，因为不再 仅仅停留在是否可计算，而是要找到明确的复杂度的极限。

我们可以说，计算复杂性的确给计算建立了一个极限。这个极限甚至可以看作是一种物理极限。[1]事实上，如所周知，现代密码学就建立在计算复杂性形成的超级难度上面。

基于计算复杂性，任何计算必然会产生的对资源的需求，可以是对存储资源的需求，也可以是 对处理器循环的需求。但是，怎么对待计算的极限，却可以有不同的方式，而不同的应对方式，会产生了不同的对资源的需求。

我们可以先考虑一个非常简单的案例。乘法是最简单的计算，复杂度也很低。例如，4567x2341， 如果采用普通的乘法规则，就需要做16次个位数的乘法，12次个位数的加法。乘法规则适用于 任何乘法，因此这些要求适用于任何两个4位数的乘法。但是，如果我们的问题是4567x2300呢？我们当然也可以采用16次乘法12次加法来完成计算。不过，显然我们可以采用更简洁的方法， 仅需要8次乘法4次加法就可以完成计算。这是因为我们充分利用了此特殊问题的内在的特性， 即2300里面的0，因此我们仅需要用少得多的计算量。

从这个简单的案例，我们可以看到两种应对处理方式。一种是，对一类待计算的问题中的所有 待计算的特例，都采用同一个明确的固定的程序来计算；另外一种是，对一个待计算的特例，如 果可能的话，采用适合这个特例的程序来计算。如同前面的案例显示的那样，后一种方式需要 的资源就要比前一种方式节省很多。

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[1]根据资料，图灵在和维特根斯坦在1939年的讨论中，就触及了此点。维特根斯坦说，数学和物理无关。图灵则反对说，数学证明的难度就是物理的。这就说明，图灵对于计算难度其实具备物理特性有了猜测和初步理解。

我们再看一个更接近实际的案例。有一个数组：Ω={63,48,932,266,671,47,110,82,39}，我 们希望等分此数组，即把此数组分成两个数组，并且两个数组的和相等。一般的，可以适用于任何数组的计算就是穷举搜索，即搜索所有可能的分组。这个数组的长度是9，那么就需要规 模为28次搜索，计算量相当大（至少是对手工而言）。但是，我们也可以针对这个特例来求解。 我们这样考虑，先随意分两组：Ω1 = {63, 48, 932, 266}，Ω2= {671, 47, 110, 82, 39}。很容易看 到，前面的数组的和大，后面的小。那么，我们就来做一些调整，使得前一个数组的和变小， 后一个变大。调整后数组为：Ω1  ={63,48,932,110}，Ω2 ={671,47,82,39,266}。仍然是前面大后面小。但是，这次可以看到比较清楚，再做一调整，就得到：Ω1  ={63,48,932,47,39}，Ω2= {671,82,266,110}。现在两个数组的和相等了。这样做计算量就小了很多。

就是说，当面对一个特例时，尽可能地去寻找和利用该特例里面的各种关系，使得可以使用更 少的资源来完成计算，这就是针对特例的计算。因此，问题自然出现，针对特例的计算是否就一 定可以节省资源？这需要我们仔细分辨和讨论。我们先做一些规定。

定义 2.1 (非特例计算和针对特例的计算) 假设一类计算问题，其问题特例形成一个集合W ，计 算程序C作用于集合中的特例w ∈ W ，记为C(w)。如果有一个固定的明确的计算程序C，对任 何w ∈ W ，C(w)都可以计算出正确结果，我们就称计算程序C为覆盖W的非特例计算。如果一 个计算程序Cw 是针对特例w的，即，Cw (w)能够计算出正确结果，而且可以做到使用的资源尽可 能少；但是，如果u ∈ W,u≠w，则Cw (u)有可能不能计算出结果（不停机），或者计算结果不 正确，或者资源消耗大很多，那么我们就称计算程序Cw是针对特例w的计算。

在前面的定义中，肯定有更加形式化、更严谨的方法来表达。但是，现有的定义中的表达对我们目前的讨论来讲，应该足够了。

当我们面对一类计算问题，迄今为止，主流的努力都是试图找到非特例的计算程序。这有其合 理性，因为在有了非特例的计算程序后，思考就简单了，对任何一个待计算的特例，仅需要“代 入”就足够了，不需要做什么特别的思考，而且总是可以获得正确的结果。简化思考，以及总是 正确，正是人们追求的东西。如果面对比较容易的问题，或者资源不成为问题，这样追求完全合理。但是，如果面对的是高度复杂性的问题，这样的追求就不合适了。面对给定的特例，尽可能利用此特例中的一切能够加以利用的特点，如对称、弱点、规律、模式、等等，使得消耗的资源尽可能减少，才更加合理。这就是说，面对高度复杂性的问题，我们应该追求针对给定特例的计算程序，而不是非特例的计算程序。

但是，针对特例的计算程序是怎么来的呢？对非特例的计算程序，我们知道，是人类程序员通过 编程或者其他方式的巨大努力获得的，而这种人类的努力的回报就是这种计算程序可以用于全 部特例。这是一个程序适用于全部特例，对此，我们理解且熟悉。但是，要对每一个特例，都要 有针对该特例的计算程序，我们就非常不熟悉了。难道要我们为每一个特例开发一个程序？有 一种可能，那就是，我们另外还有一个寻找程序，当我们面对一个给定的特例时，我们可以启动这个寻找程序来找出针对该特例的计算程序。这当然是可能的。但是那样一来，寻找程序本身 也要消耗资源。问题是：是否可以使得总的资源消耗减少？我们可以做一个规定。

定义 2.2 (非特例计算所必需的资源) 假设一类计算问题，其问题特例的集合为W ，如果C是一 个覆盖W 的非特例计算，对每个特例w ∈ W ，C(w)消耗的资源为Zw ，则C所需要的资源Z就是: Z = max{Zw|w∈  W}。如果有两个以上的覆盖W的非特例计算，则取这些计算所需要的资源的下限为计算W所必需的资源。

这样，我们就规定非特例计算所必需的资源。那么对于针对特例的计算呢？我们有如下命题。

命题 2.3 (针对特例的计算所必需的资源) 对一类计算问题， 其问题特例的集合为W ， 假设覆 盖W 的非特例计算所必需的资源为Z。再假设我们用一个固定的明确的寻找程序S来寻找针对 特例的计算程序，即对任何w ∈ W ，S(w)都可以产生针对特例w的计算程序Cw ，那么，S(w) 和 Cw (w)共同消耗的资源的上限，将等于Z。

证明：容易看到，因为S是一个固定的明确的寻找程序，对任意的w∈W，先做S(w)，获得Cw， 再做Cw(w)，这样就形成了一个覆盖W的非特例计算C。因此，C所必需的资源等于Z。命题说的其实就是，如果要通过一个固定的明确的寻找程序来寻找的话，就是事实上形成了一 个非特例计算。因此，如果要这样做，针对特例的计算所消耗的资源就会等同于非特例计算所消耗的资源，不可能形成节省。因此，根据此命题，我们可以对计算所必需的资源做一个规定。

定义 2.4  (计算所必需的资源)   假设一类计算问题，其特例的集合为W，计算这类问题所需要的资源就是覆盖W的非特例计算所必需的资源。

就是说，对于特例w ∈ W ，如果我们知道针对w的计算程序，那么计算w所需要的资源有可能低于计算所必需的资源。但是，这需要知道针对w的程序。如果预先不知道，要用一个固定的明确 的寻找程序来找出针对w的程序，计算w所必需的资源就和非特例计算所必需的资源等同了。因此，对一类计算问题，计算必需的资源就是非特例计算所必需的资源。要做某个计算，就需要相 应的资源，没有这个资源，在实际上就不能做这个计算。这就形成了对计算的限制。这个限制是不可能随意超越的。这正是计算复杂性的明确结论。

但是，请注意，我们前面命题中有一个规定，即采用“一个固定的明确的寻找程序”来找到针 对w的计算程序，才会有前面命题的结论。那么有没有可能采用更好更灵活的方法来找到针对特 例的计算程序，从而超越限制？这样的更好更灵活的方法是些什么方法？这正是我们将继续讨论的。

3  智能和超越计算复杂性

前面的讨论说明，计算的限制是由非特例计算所消耗的资源来规定。注意到，非特例计算可以 对整个问题特例集做计算。但是，我们通常并不面对整个的问题特例集，我们往往仅是需要计算一些特例，非常多的时候，仅是很少几个特例。那么，对这种情况，我们是否有什么方法超越 计算复杂性，用小得多的资源来完成计算？这个问题并不简单。首先，如果是采用非特例计算程序，就不可能仅用小得多的资源。因此，我们需要考虑针对特例的计算。但是，即使这样，是否 能仅用小得多的资源也并不显然。

针对一个给定的特例，要做针对特例的计算，就有两个步骤：1）找到针对该特例的计算程序， 2）用针对该特例的计算程序来计算。我们来考察一下，看是否有可能这两个步骤合起来所消耗的资源比非特例计算更低。首先，如果步骤2需要消耗的资源并不能比非特例计算低一个等级， 那么就不必考虑了。如果步骤2需要消耗的资源的确比非特例计算低一个等级，关键就转移到步骤1上面。

怎么才能找到针对该特例的计算程序？有这样一些可能性。a）我们具备预先的知识，知道对该 特例，应该用什么针对的计算程序，并且预先就有这样的计算程序，可以调出来用；b）我们具 备一定的能力，可以和特例互动，然后从互动的信息中获取针对的计算程序，而且这种获取的 过程也仅只消耗低一等级的资源。

我们可以排除可能性a，那是预先已经知道，是和神谕一样的，可以期望而不一定能实现。而可能性b，就是要求具备相当的能力，此处，我们是在考虑计算，就是说要求计算具备相当的能力。 这种能力具备相当主动性，因此我们就不再称其为计算程序，而称其为计算体。计算体含有主 体的意思，而这也正是我们希望赋予的意义。就是说，我们希望是一个具备主体性的计算体在做计算，而这个计算体具备一定的能力可以实现可能性b。

因此，我们要来对计算体的能力做一些考察。说到能力，我们需要一些标准以便做考量。具体 说，有2种考量：1）绝对能力，也就是说计算体具备的绝对能力，能够完成某类任务的绝对能 力；2）计算体所完成的任务和所消耗的资源的比值，这是一种相对的能力。而计算体的能力就应该由此两种考量的某种组合形成。例如，如果强调绝对能力，那么在能力度量中，第二项就占 很小的成分。但是，如果完全没有了2），就失去了计算体的意义。我们考虑的计算体是要试图超越计算复杂性，因此要限制计算体消耗的资源。根据这样的考虑，我们可以这样规定计算体 的能力：在满足2）的情况下，完成1）的能力。

那么，计算体的这种能力应该称为什么好呢？我们认为把这种能力称为计算体的智能是适合的。我们的理由有这样几条：1）这种能力的确是一种非常有用的能力，而且来之不易，并不能平凡获得，这和我们对于智能的理解和要求吻合。2）具备这种能力，计算体就可以用低一等级的资源来做高一等级的工作，即消耗少而获得高，这也和我们对智能的理解和要求吻合。3）这种能 力并不表现为一种机械性的行为，也不是机械性的程序可以做好的，这也和我们对智能的理解和要求吻合。4）和图灵测验的精神吻合，图灵测验的要求是不问内部，仅看外部行为。具有这种能力的计算体，看外部表现就体现出智能。王培是AGI的研究者和倡导者，根据他所提倡的智 能的定义：智能是在有限资源的情况下，做出最佳适应的能力[8]。显然，他对智能的这种定义和我们把计算体的能力称为智能是方向一致的。事实上，他对智能的这种定义对我们有积极的影响。根据这些考虑，我们有如下的定义。

定义 3.1 (计算体的智能) 假设有一类计算问题，其问题特例的集合为W ，再假设覆盖W 的非特 例计算必需的资源为Z。现在有一个计算体C，如果对某个特例w∈ W ，C可以仅用比Z低一个 数量级别（O(log(Z))）的资源来完成对w的计算，我们则称C可以智能地计算w。规定V ⊂ W 是 这样的子集，即C可以智能地计算V 里面的全部元素。如果V不为空，我们就称C具备计算体的 智能。C的智能用公式来度量：q(C)= |V |/|W|。我们称这样的计算体C超越了非特例计算的计算复杂性。

注意，在定义中，具备智能的计算体C可能并不能对所有的特例w∈W都可以做到超越计算复杂 性。C可能仅能够对很少的特例做到超越，也可能对很多的特例做到超越，而这个多少，就成为计算体的智能的度量。也就是说V 相对于W的大小，就成为C的智能的度量。这样就清楚了，要超越计算复杂性，也就是要用低一级的资源来完成高一级的工作。而要能够如此，计算体就需 要具备智能，具备了智能，就可以突破计算复杂性的藩篱。所以，智能正是为了超越计算复杂性而形成的能力。

但是，一个根本的问题是：是否真的存在这样的计算体？

首先，我们指出，对应NP-完全问题来讲，这样的计算体总是存在的，至少平凡的总是存在的。但是，我们并不满足于平凡的计算体，我们希望有真正智能的计算体。

据我们所知，目前尚未有理论来讨论是否存在这样的计算体。进一步，也没有一种理论告诉我 们怎么才能形成智能的计算体。这些问题是计算理论的重大问题，也是关于人工智能的重大理论问题，有待进一步的研究。此处，我们来做一个尝试，即我们提出这种思路：如果采用合适的 试错规程和能动搜索，就有希望形成具备智能的计算体。

4  试错和能动

试错，其实是一个非常通常的方法。我们常识中认为试错很合理，甚至于经常不自觉地使用。在 计算理论中，Gold，Putnam，Kugel等人一直坚持使用试错法来对待可计算性的问题[9]。Kugel称这样的试错法形成的计算程序为Gold-Putnam机。他们因此形成一种试错规程，用以处理比较困难的可计算性问题，乃至于试图处理不可计算的问题。

那么，试错究竟在做什么？为什么可以成功？试错实际上是基于如下这些事实：1）承认我们有 所未知，但是可以通过努力来获得此未知；2）可以用某种变换把未知的东西转移到一个确定的 搜索空间；3）可以通过试错来获得反馈，反馈可以帮助寻找，寻找就是在搜索空间中从一个点移动到下一个点；4）可以在搜索空间中达到（或是接近）未知的东西。试错是一种非常有效的机制，往往是求解问题的不可或缺的工具。

回到我们的问题上，那就是寻找针对特例的计算。假设问题特例的集合为W，给定一个特例w∈ W，我们希望寻找针对w的计算程序Cw。正如前面所讨论的，我们要把未知的东西变换到某个 搜索空间中。搜索空间可以有很多种。我们这里来做一定的限制。我们把搜索空间限制为一个布尔向量空间，即搜索空间是BN。这样的限制当然是有局限的。但是，如果N 足够大，布尔向 量空间其实可以覆盖任何参数空间，而用参数空间去调控计算，则是非常普遍的做法（如非确定图灵机显示的那样，参考Cook[7]）。因此，选择搜索空间为N维布尔向量空间是合理的。如 果以后有需要，我们还可以更换不同的搜索空间。在搜索空间中搜索的结果，就是获得正确的参数p∈BN后，进而获得针对w的计算程序Cw。因为Cw依赖于参数，我们可以记为C(w,p)。

有了搜索空间，我们来设定一个试错规程。我们需要有这些组成部分：试错的程序T (w, p), w ∈ W,p ∈ BN ，如果给定的参数p是正确的，则T (w, p)的计算结果是1，否则计算结果就是0。T 还反馈其他信息。搜索S(w, p, t)，S将产生pn，这是获取的搜索空间的下一个点，用于继续试错。S还产生其他一些信息，以供试错使用。针对w的计算程序C(w, p), w ∈ W, p ∈ BN 。试错规程如下：

1）初始设定参数p =p0，开始试错循环。

2）循环：先运行试错，即计算T(w,p)，获得试错结果，以及其他信息反馈t。根据试错结果为1， 还是0来决定是否已经找到了正确的参数。如果正确，退出循环。如果不正确，继续。3）搜索S(w, p, t)，S产生pn，此为下一个试错的点。

4）试错循环继续下去，直至获得正确的参数p并且退出循环，或者报错退出。

5）在完成试错循环后，就获得针对w的计算程序C(w, p)。

注意到，在试错规程中，最重要的步骤在于：怎样在搜索空间中获取下一个点，即运行S(w, p,t)。S可以用最笨的办法，即穷举搜索，就是搜索每一个点。但是，这不是我们期望的。如果穷举搜索，必需使用2N的资源。我们期望仅用低一等级的资源。这样的话，我们就需要有更好的方法来获取下一个点。这就是能动搜索。如果前面的试错规程中的搜索是能动搜索，则整个试错规程就形成一个计算体。

能动搜索是此计算体的最主要部分。能动搜索具备从试错计算结果中获取信息的能力。因此，和Kugel等人的试错规程不同，试错不仅提供正确于否的反馈，还需要把更多的信息反馈到能动搜索，这样搜索才能做得更好，才能做到用尽可能少的资源来进行有效的搜索。能动搜索具备 主观，因此可以能动，能够从各种反馈信息中产生觉察，以及对自身的觉察，乃至更深层次的 觉察，并且依据这些觉察找到反馈信息中蕴含的机会，再根据机会决定下一个试错的点。这就 是能动，我们在[3,4]中对这样的能动做了仔细的讨论。能动搜索的能力是计算体的关键，因此，我们做一个定义。

定义4.1 (智能搜索)假设试错规程中的搜索空间为P=BN，能动搜索为S(w,p,t)，如果对给 定的w，以及对任意的初始参数p0，如果S能够仅使用O(N)资源，即能搜索到针对w的参数向量， 我们则称S能做针对w的智能搜索。

具备此能力的能动搜索，就可以使得计算体获得智能。

命题4.2 (试错+能动)假设有一类计算问题，其尺度为N，其问题特例的集合为W，再假设 覆盖W的非特例计算必需的资源为O(2N )。假设计算体J由试错规程、能动搜索S和针对特例 的计算C(w,p)构成。如果存在w∈W，S能做针对w的智能搜索，而且计算程序C(w,p)仅需 要O(N )资源，则计算体J具备定义3.1所定义的智能。

很容易看到此命题为真。而S和C(w,p)都仅需要用O(N)的资源，则定义3.1中规定的集合V⊂W不空。按照定义3.1，计算体J具备智能，J针对w可以超越非特例计算的计算复杂性。什么样的能动搜索能够针对给定的特例做智能搜索？这是一个大问题，有待进一步的工作。下 面，我们考虑数组等分问题，希望在这个极端重要，而又明确和相对简单的问题中，可以把能动搜索看得更清楚一些。

5  数组等分问题

数组等分问题是一个非常著名的、很重要的问题。我们现在以这个问题作为案例，应用前面讨 论过的思路，希望可以帮助我们理清思想。我们先简单回顾一下数组等分问题，更多细节请参考[6,2,5]。这个问题可以用一个很简短的句子来说明：给定一个自然数的数组Ω, 问是否可以 把Ω分成两个子集Ω1和Ω2，使得Ω1中的数的和等于Ω2中的数的和？

先看一个简单示例。给定数组：Ω={3,1,1,2,2,1,2,2,4}，我们可以取Ω1 ={1,1,1,2,4}和Ω2={2,3,2,2}，则∑Ω1=∑Ω2=9。对这种情况，等分问题就有一个肯定的答案。注意，对此数组，等分不止一种。如:Ω1={3,1,1,2,2}和Ω2={1,2,2,4}。这是一个非常简单例子，答案很明显。而这个数组：Ω={3,1,1,2,2,1,2,2,16}，就不可能等分。这也很明显。但是对这个数组：Ω={982,937,49,1023,547,363,353,1012,150,312}，答案就不明显了，不过，还可以手动求解。

数组等分问题正是P vs. NP的典型。对这个问题，我们知道，如果给出了两个子集，即给出了Ω1和Ω2，很容易验证它们是否为一个等分。但是，如果仅给出Ω并且提问：如果等分存在的话，要求把等分找出来；如果不存在的话，要求证明的确不存在，那样的难度就高了非常多。

我们来更仔细描述问题。现在设数组长度为N ，我们将考虑长度为N 的数组Ω。数组成员都为自 然数，即Ω∈IN ，I为自然数集。然后，我们定义一个N维布尔向量p∈BN，p=(p1,p2,...,pN)， pj∈B，并且对一个数组Ω={ω1,ω2,...,ωN}和布尔向量p，我们定义一个量：

很容易看到，上面这个量的意义就是：把数组分成两部分，而两部分的和之差即为该量，而怎么 分成两部分，则由p来规定。所以我们称p为一个分组向量，因为它决定怎么分组。也就是说，这个量< p, Ω>其实是一个测试，用来测试分组向量p是否可以等分数组Ω，并且这个量还给出反 馈，即分组向量形成的分组离开等分还有多远。我们再定义一个函数：φ(Ω,p):

φ(Ω, p)是一个带参数的布尔函数，φ(Ω, p) : IN × IN → B，就是说，如果分组向量p使得数组Ω等 分，则函数值为1，否则为0。也就是说，这个函数是一个试错函数，用p来试错。采用这个试错函数（带参数的布尔函数），并且用我们规定的一个算符⊙[2]，我们就可以定义分组函数：

P_arN(Ω) : IN →B, P_arN (Ω)=φ(Ω,p)⊙P

此处，P是全体分组向量形成的空间。算符⊙就是试的意思，就是说把所有的p∈P用到φ(Ω,p)来 试一下，如果试的结果中有的值等于1，则P_arN(Ω)的值就是1，否则P_arN (Ω)的值就是0。这就 是说，P_arN 的函数值就是根据试错而定义的。这就是很明确告诉我们，数组等分问题的定义就是由“试错+穷尽搜索”来规定的。因此，非常自然，我们可以把此定义转化为如下的计算。

试错规程+穷尽搜索

设定：p0, Ω

初始：N = 0, p = p0

while N < 2N do

继续试错：t←Ω>

if  t = 0then

停止，输出“计算成功，P_arN (Ω)  =1及分组向量p”

         else

继续搜索：pn ←S

p ← pn, N ← N +1

         end if

          endwhile

停止，输出“计算成功，P_arN (Ω) =0”

非常明显，前面这个试错规程+穷尽搜索，就是表达式P_arN (Ω) = φ(Ω, p) ⊙ PN 的程序表达，两 者完全是同一回事。因此，面对分组函数P_arN ，使用试错+搜索，就非常自然而然。特别注意， 其中的搜索S是穷尽搜索，就是走遍P 空间。S不依赖于任何数组。实现穷尽搜索可以有很多种，不过我们可以不管，只需要S能遍历P空间就可以了。

特别强调，前面这个计算是非特例计算，对任何特例，即任何数组都适用。而且，计算给出的函 数值是完全正确的。值得注意，这个计算所消耗的资源为O(2N )。有了非特例的计算，我们再思考针对特例的计算。我们可以设想，仍然是试错+搜索，但是针对数组Ω，而且希望可以比前面的试错+穷尽搜索做得更好，这就是试错+能动搜索。试错规程如下：

试错规程+能动搜索

设定：p0,Nmax,Ω

初始：N=0,p=p0

while  N  < Nmax do

继续试错：t←Ω>

if t = 0then

停止，输出“计算成功，P arN (Ω) =1及分组向量p”

         else

继续搜索：(pn,i)←S(t,p,Ω)

if i=0 then

停止，输出“计算成功，P_arN (Ω) =0”

else {i =1}

p←pn,N←N+1

         else

停止，输出“计算失败，搜索停止”

         end if

         endif

endwhile

停止，输出“计算失败，超出范围”

此试错规程就是搜索分组向量，看是否可以找到分组向量p，其使得可以等分数组Ω。规程一共有4个出口。其中两个是成功的，分别对应于ParN (Ω)等于1，或者等于0。另外两个是失败，一个是因为搜索次数超出预设值，强制停止，另一个是因为搜索的内部认为不能再继续搜索了。当 试错规程成功时，就给出了ParN (Ω)的值。当试错规程失败时，无法给出ParN (Ω)的值。还需要 注意到，当给出函数值为1时，也给出了分组向量，此时，是完全正确的。但是，当给出函数值 为0时，有可能是对的，也有可能是错的，因为搜索并不是穷尽的搜索，而是能动和智能的搜索， 是可能出错的。此时，即S(t, p, Ω)给出的i为0，就是S(t, p, Ω)而是根据和数组的互动经验，主观 地决定数组Ω不能等分，这个决定是可能出错的。

总之，此试错规程+能动搜索形成的计算体，形成针对特例的计算，它针对给定的特例，即一个给定的数组，进行计算。计算结果可能是3种：1）计算成功，且得到正确解，2）计算成功，但 是得到错误解，3）计算失败，失败又分两种，一是搜索停止，二是超出范围。

在试错规程中，搜索S(t,p,Ω)是最关键的。我们对此做一些讨论。搜索S(t,p,Ω)就是要在知道了 现在的分组向量p，以及试错的结果t后，决定下一个用于试错的分组向量是什么。搜索是能动 的，不是预先预设好的，搜索可以通过学习来改变S(t,p,Ω)这个计算体的内部，以使得给出一个 更好的下一个分组向量，使得尽快完成计算过程。S(t,p,Ω)是特别针对性这个给定的数组Ω的。

这个搜索肯定不是传统的搜索程序，任何一个传统意义下的搜索程序，都不可能做到能动和智 能的搜索。这个搜索，还必须具备自己的主观，因此才可以能动。但是，问题在于：这样的能动 搜索是否存在？

对数组等分问题，针对一个任意给定的，可以等分的数组Ω，总是可以有一个搜索使得可以非常 快地搜索到Ω的等分向量。因为，我们可以把试错规程中的初始向量p0设定为这个等分向量。但是，这样的搜索是平凡的，不足为道，并不是我们真正希望的那种能动搜索。我们希望的能动搜索是这样的：对任何的初始向量p0，可以仅有低一等级的资源，就可以搜索到相应的等分向量。那么这样的能动搜索是否存在呢？对此，我们提出如下猜想。

猜想 5.1 (存在针对数组等分的能动搜索) 对数组等分问题，存在这样的能动搜索S(t, p, Ω)，使 得对绝大多数数组Ω∈IN ，以及对任意的初始分组向量p0，S能够仅使用O(N)资源就做到：或者正确决定ParN (Ω)等于1（即数组可以等分），并且给出等分Ω的分组向量，或者正确决定P arN(Ω)等于0（即数组不能等分）。

注意到，这个能动搜索S(t,p, Ω)不可能是一个固定的搜索程序（无论是什么样的固定的搜索程 序），也不可能是若干个固定的搜索程序集合起来（对数组等分来讲，有很多其实相当有效的这 样的程序），然后根据情况选定一个搜索程序。这些办法都不足以产生一个能动搜索。另外，这 个能动搜索可以使用随机因素，但是，不能是仅凭随机，那样不足以产生一个能动搜索。这样 的能动搜索需要根据试错的反馈来逐步纠正自己和修改自己，并且做出能动的决定，唯有如此，才能做到定义中的要求。

如果有了这样的能动搜索，那么对一个给定的数组Ω∈IN ，我们就可以有很大的把握仅用O(N)资 源就可以计算出这个数组是否可以等分，如果可以等分，还要给出等分的分组向量。但是，数组等分问题是NP-完全问题，原则上求解是需要O(2N )资源的。如果能够有这样的能动搜索，很大 一批问题将变得比较容易求解。但是应该说明，从存在这样的能动搜索，并不能得出P = NP 的 结论。相反，正是因P≠ NP，才使得这样的能动搜索有其意义。

可以注意到，这样的能动搜索+前述的试错规程，就形成了一个针对特例的计算，即计算体。我们称为计算体J 。这个计算体J 的智能，根据定义3.1，q(J )满足0< q(J) < 1，这里的不等式是 严格不等式，即肯定大于0，小于1，但是，我们希望q(J )尽可能接近1。如果我们能够找到这样的能动搜索，那么我们就实现了一个具备智能的计算体。

找到这样的能动搜索是非常有意义的。可以肯定，目前尚未有人做出过这样的非平凡的能动搜索。但是，我们相信这样的非平凡的能动搜索是存在的，我们将继续在此方向上工作。

最后，我们说明，前面的分组函数的讨论中，我们没有限制数组元素的范围。如果需要限制，我们可以规定数组元素为K比特的整数，那样的话，Ω ∈→B为K比特的整数集，以及

P_arN(Ω) : IN →B,P_arN (Ω)=φ(Ω,p)⊙P

则前面的都可以应用于此。

6     一些讨论

  我们可以把主要的思路和想法再说明一次。计算复杂性是计算的一个极限，对每一类计算问题， 相应的极限都存在，这是一个类似于物理性质的极限，即必须要有足够的资源才能做相应的计 算，没有资源，就不可能计算，一个固定的不能自我调整的程序不能超越此极限。如果一类计算的计算复杂性低，需要的资源也就少，非特例计算就可以了。但是，更多的计算都有很高的复杂 性，需要的资源也就很多。面对这样的任务，追求非特例计算就行不通，这是因为，计算的极限使得非特例计算实际上不可能。非特例计算实际上是把整个问题特例集作为整体对待，寻求一 个算法来解决全部这些特例，因此需要很多的资源。但是，我们往往仅需要解决很少一些特例，如果仅考虑针对特例的计算，就有可能节省资源。因此，必须从追求非特例计算转为追求针对特例的计算。也就是说，我们再也不要求计算可以对一切特例适用，而仅要求对某些特例适用。只有如此，我们才能超越计算复杂性形成的限制而在实际上实现计算。但是，我们又不可能对 每一个特例编程，这是根本不可能的。我们只能寄希望于发展出具备智能的计算体，希望此计算体能够和给定的特例互动，也就是试错，并且在试错中逐渐调整计算体自身，从而找到针对 该特例的计算。面对复杂性高的问题，这条路是必不可免的。可以说，智能的计算体是复杂性的产物，克服复杂性则是驱动智能产生和发展的基本原动力。

  这就是说，一个具备主观和和智能的计算体，能够绕过计算的极限来完成任务。智能之所以是 智能，就是因为其可以超越计算复杂性形成的限制。然而，用智能来超越计算复杂性，无疑有非 常巨大争议。目前并没有人能够做到，也缺乏能够支撑局面的理论。对此，我们认为首先需要理清各种关系。我们提出非特例计算，针对特例的计算，计算体的智能，能动搜索，等等定义，就是向此方向努力。这些定义是清晰明确的，有助于理论和实践的发展。不可否认，是否能够实现具备智能的计算体，还需要进一步的理论工作，而且，更重要的是，我们应该做进一步的工作来解决各种困难的计算问题。

  为了探索建立具备智能的计算体的思路，我们提出“试错+能动”的框架。试错的思路有非常久 远的历史，容易看到，采用合适的试错规程，就把问题归结到一个明确的地方，即在某个空间中搜索。如果能够找到一个合适的试错规程和搜索空间，就已经进展了一大步。但是，暴力搜索是非常消耗资源的，要超越此困难就需要计算体具备主观和能动，这是超越计算复杂性的最根本 和最重要的部分。

  我们认为具备智能的计算体有两个原则：1）如果没有错误，完全正确，就不可能超越计算复杂 性。2）如果完全由人来设定程序，就不可能做到根据具体情况做适当调整，也不可能超越计算 复杂性。所以，需要试错，更需要能动。具备了这两个原则的计算体，就可以利用待计算特例里面的各种潜在的特征来达到节省资源，完成任务。总之，超越计算复杂性就依赖于这些。当然， 我们不否认的确存在那样的待计算特例，即里面几乎没有弱点、规律、模式、对称、特点等可以利用的东西。如果是那样，具备智能的计算体也就力所未逮。不过，我们相信，这样的情况是极少数情况。但是，究竟有多少是可以用智能来处理的？有多少是不可能的？用智能来处理又可以 改善多少？这些问题非常重要，需要进一步的研究。但是，明确的是：唯有智能可以利用特例里面的特征来超越计算复杂性。再进一步，唯有具备智能的机器才能利用大尺度的待计算特例里 面的特征，人力已经不能把握这样的尺度。

  如果通过合适的试错规程和能动搜索实现超越计算复杂性，这就是智能的成功。但是，即使实 现后，也并不是事情的结束。事实上，试错规程也是复杂度非常高的事情，能动搜索也同样。那么，完全可以在试错规程中应用更深一层次的试错规程和能动搜索，在能动搜索中应用更深一层次的试错规程和能动搜索。智能可以这样一直深入进去。或许，这就触及了某种有关智能的核心。

  要超越计算复杂性，必然要把注意力从非特例计算转移到针对特例的计算。此处，我们再强调一下，针对特例的计算和非确定图灵机有非常密切的关系（参考[7]）。这里面有很多问题，是计算理论的重大问题，也是关于人工智能的重大理论问题。可以展望，这方面将有很多重大发展。值得指出，非确定图灵机作为理论讨论工具已经有很多年了，但是，并没有向实践方向的发展。而对于针对特例的计算，我们不是停留在非确定，而是导入智能去提升，因此走向了完全不同的方向。这是非常重大的不同。

  数组等分问题被称为最容易的困难问题，是非常有道理的。因为这个问题的特性，例如其定义就和搜索自然联系在一起，对帮助我们理清思想很有帮助，我们正是在思考这个问题时，逐渐理解了试错规程和能动搜索的框架。这样的试错规程+能动搜索将形成一个智能计算体，如 果我们能够找到这样的能动搜索的话。而且，如果有了这样的能动搜索，因为很多NP-完全问 题可以相互转化，就有可能找到更多的，针对更多问题的具备智能的计算体。这些计算体应该可以极大帮助我们提升解决高度复杂问题的能力。因此，这样的智能计算体具备重大意义。我 们认为，一旦这样的智能计算体呈现之后，我们对智能的认识或许会有重大改变。人们不会对这个智能体说，“做出来的，就不再是智能的”，就像我们现在对Deepmind的AlphaGo程序，或者IBM的Jeopardy程序说的那样，因为这样的智能体将会表现出鲜明的，不容忽视的，不容抹杀的智能特征。面对这样的计算体，考察这样的计算体，我们应该可以获得对智能的深层次理解， 甚至于飞跃式的深入理解。

  当然，现在还没有人做出这样的计算体。但是，我们相信这样的计算体是存在的，我们对此有思考和探索方向。我们将继续工作，希望能够把这样计算体尽快呈现出来。

  在本文的写作基本完成的时候，我们读到采访李国杰教授的文章[1]，倍感鼓舞。李教授在采访中提到的思路，和我们的想法在同一个方向上。他说：“我这里讲的用人工智能解决NP-hard问题，不是指理论意义上的解决”。李教授希望采用人工智能和智能科学的思想和方法反过来帮助解决 计算复杂性极高的问题。而这正是本文的目标。李教授也提到：“区分问题和问题实例”的重要性。这正是本文进行讨论的基本出发点（定义2.1）。我们正是剖析了这个重要区别，理清了关系，因此而建立了基本的讨论框架。德不孤焉，幸甚！

 致 谢

感谢柳渝博士（法国）。自从2017年起，我就和她就图灵机，非确定图灵机，还有其他的关于计算的话题有很多线上的讨论。这些讨论深入和富于启发，促使我从不同角度考虑问题。感谢黄岱永博士（上海），以及黄冲先生（武汉），和他们的讨论对我帮助很大。感谢各个微信群的组织者和群友们，大家的共同努力形成了一个混沌但是富于激励的环境，有助于思绪的形成和发展。谢谢互联网的内容贡献者。没有互联网上的学术资料，我的研究是不可能的。

参考文献

[1] Chuyu Xiong. Sampling andLearning for Boolean Function,arxiv.org,2020.http://arxiv.org/pdf/2001.07317.pdf

[2] Chuyu Xiong. Sampling andComplexity of Partition Function, arxiv.org, 2021. http://arxiv.org/pdf/2102.00855.pdf

[3]  熊楚渝. 思维科学的一个初阶模型, researchage.net, 2019. DOI: 10.13140/RG.2.2.31596.72328

[4]ChuyuXiong.SomeDiscussionsonSubjectivityofMachineanditsFunctionContributionstoICIS2020,InternationalConferenceofIntelligenceScience2020,WestBengal,India

[5]熊楚渝. 介绍证明P不等于NP的思路和方法,    researchage.net, 2021. https://www.researchgate.net/profile/Chuyu Xiong/research

[6] Richard M. Karp.Reducibility Among Combinatorial Problems, 1972 http://cgi.di.uoa.gr/˜sgk/teaching/grad/handouts/karp.pdf

    [7]  Stephen Cook, THE PVERSUS NP PROBLEM,  2000.

http://www.claymath.org/millennium/PvsNP/pvsnp.pdf

[8] Pei Wang, Three fundamental misconceptions of artificialintelligence,JournalofExperimental&TheoreticalArtificialIntelligence,Vol.19,No.3,Pages249-268,2007

[9] P. Kugel, Thinking may be more than computing, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/downloaddoi=10.1.1.297.2677&rep=rep1&type=pdf

[10]Scott Aaronson, P =?NP,2011.https://www.scottaaronson.com/papers/pnp.pdf

[11] M.Prates, P. Avelar, H. Lemos, L.Lamb, M. Vardi, Learning to SolveNP-Complete Prob- lems: A Graph Neural Network for Decision  TSP.http://arxiv.org/pdf/1809.02721v3.pdf

[12] A. Yang, J. Wright, Y. Ma, S. Sastry, Feature Selection in FaceRecognition: A Sparse Repre- sentationPerspective, 2007. https://www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2007/EECS- 2007-99.pdf