对极几何基本概念与极线约束

参考：https://blog.csdn.net/tina_ttl/article/details/52749542
参考：https://blog.csdn.net/ccblogger/article/details/72900316

对极几何（Epipolar Geometry）描述的是两幅视图之间的内在射影关系，与外部场景无关，只依赖于摄像机内参数和这两幅试图之间的的相对姿态

1. 什么是对极几何·粗略概念

提到对极几何，一定是对二幅图像而言，对极几何实际上是“两幅图像之间的对极几何”，它是图像平面与以基线为轴的平面束的交的几何（这里的基线是指连接摄像机中心的直线），以下图为例：对极几何描述的是左右两幅图像(点x和x’对应的图像)与以CC’为轴的平面束的交的几何！

• 直线CC’为基线，以该基线为轴存在一个平面束，该平面束与两幅图像平面相交，下图给出了该平面束的直观形象，可以看到，该平面束中不同平面与两幅图像相交于不同直线；
• 
  上图中的灰色平面π，只是过基线的平面束中的一个平面（当然，该平面才是平面束中最重要的、也是我们要研究的平面）；

2. 对极几何相关的一个重要约束·5点共面约束

仍以上面贴出的图像为例，此处重复贴出，空间点X在两幅图像中的像分别为x和x’，这两个投影点之间存在什么关系呢？观察下图

点x、x’与摄像机中心C和C’是共面的，并且与空间点X也是空面的，这5个点共面于平面π！这是一个最本质的约束，即5个点决定了一个平面π
由该约束，可以推导出一个重要性质：由图像点x和x’反投影的射线共面，并且，在平面π上，在搜索点对应中，该性质非常重要

3. 对极几何的几个相关概念

对极平面束（epipolar pencil）：以基线为轴的平面束；下图给出了包含两个平面的对极平面束

对极平面（epipolar plane）：任何包含基线的平面都称为对极平面，或者说是对极平面束中的平面；例如，下图中的平面π就是一个对极平面

• 对极点（epipole）：摄像机的基线与每幅图像的交点；即上图中的点e和e’
• 对极线（epipolar line）：对极平面与图像的交线；例如，上图中的直线l和l’

4. 对应点的约束

在假设只知道图像点x，那么，它的对应点x’如何约束呢？

• 根据前面的讨论，点x和x’一定位于平面ππ上，而平面ππ可以利用基线CC’和图像点x的反投影射线确定
• 点x’又是右侧图像平面上的点，所以，点x’一定位于平面ππ与右侧图像平面的交线l’上
• 前面提到，直线l’为点x的对极线，也就是说，点x的对应点x’一定位于它的对极线上！

极线几何约束

在双目立体视觉测量中，立体匹配（对应点的匹配 ）是一项关键技术，极线几何在其中起着重要作用。双目立体视觉系统中，有两个摄像机在不同角度拍摄物理空间中的一实体点，在两副图像上分别成有有两个成像点。立体匹配就是已知其中的一个成像点，在另一副图像上找出该成像点的对应点。极线几何约束是一种常用的匹配约束技术。

      极线约束是一种点对直线的约束，而不是点与点的约束，尽管如此，极线约束给出了对应点重要的约束条件，它将对应点匹配从整幅图像寻找压缩到在一条直线上寻找对应点。

极线
如果曲线的切于A,B两点的切线相交于P点,那么P点称为直线AB关于该曲线的 极点(pole),直线AB称为P点的极线(polar).

极点和极线的思想是曲线上点和过该点切线的思想的一般化.任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线,每一条直线都有一个极点.如果点在这条曲线上,那么极线就是曲线过该点的切线.

三维空间中一点p，投影到两个不同的平面I1、I2，投影点分别为p1，p2。

p、p1、p2在三维空间内构成一个平面S。

S与面I1的交线L1过p1点，称之为对应于p2的极线。同理S与I2的交线称之为对应于p1的极线（对应于左边图像点的极线在右边图像上，右边与之相同）。如图：

所谓极线约束就是说同一个点在两幅图像上的映射，已知左图映射点p1，那么右图映射点p2一
定在相对于p1的极线上，这样可以减少待匹配的点数量。
对于极线约束方程可以由以下来表示：
三维向量x和x’存放相关点，F为一个3*3且秩为2的基础矩阵，那么：

且左右两个平面的两条极线的方程为（注意 ’）：

对于两条直线，以连续点的方式存储：I和I‘分别在左右两幅图像上，若他们俩有对应关系，那么认为他们两条直线之间的点依次的存在对应关系

对于左侧图像中直线I上的一点x，那么对应于右侧图像中直线I’中的点x‘可以按照下面方式求得：

对应于x的极线为I’e，I’e与直线I‘的交点为x对应的点x’因此：