洛谷千题详解 | P1018 [NOIP2000 提高组] 乘积最大【C++、Python、Java、pascal语言】

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题目描述

输入格式

输出格式

输入输出样例

解析：

C++源码：

Python源码：

Pascal源码：

Java源码：

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题目描述

今年是国际数学联盟确定的“ 2000 ――世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰 90 周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友 XZ 也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为 N 的数字串，要求选手使用 K 个乘号将它分成 K+1个部分，找出一种分法，使得这 K+1 个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312， 当 N=3,K=1 时会有以下两种分法：

1. 3×12=36
2. 31×2=62

这时，符合题目要求的结果是: 31×2=62

现在，请你帮助你的好朋友 XZ 设计一个程序，求得正确的答案。

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输入格式

程序的输入共有两行：

第一行共有 2 个自然数 N,K（6≤N≤40,1≤K≤6）

第二行是一个长度为 N 的数字串。

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输出格式

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

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输入输出样例

输入 #1

4  2
1231

输出 #1

62

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解析：

用一个数组cut[i][j]存储在第i个数字后放第j个乘号，第1到第i个数的乘积的最大值。

如果j=k，说明所有的乘号都已经放完，那么ans[i]就表示最后一个乘号放在第i个数后面的最大值，此时要乘上后面的数。因为后面的数是一定的，cut[i][j]是已知的最大值，所以ans[i]可以由唯一的路径转移。

最后比较所有的ans[i]，选择最大值输出。

完成以上步骤需要至少三个操作：

1.取数 将没有乘号分隔的连续的数字变成一个数，进行运算

2.比较 没有比较哪来的最大值

3.乘法 将乘号两边取到的数乘起来

由于n<=40，所以这些操作要用高精度的方式进行

（如果有能存40位的数据类型，请不必往下翻了，本蒟蒻最多知道一个long long）

首先这道题很明显要dp做，因为这道题最后要求输出最大值，而该值可由两个上一级数字相乘得到。所以我们把原数先分为两块，一个由k段相乘得出的最大值和剩余部分的值，如图：

而几段数的最大值则可以再次分割为右侧的一段数和左侧的几段数乘积的最大值。如此不断分割，直到分割到只剩一段，此时该段的最大值就是它本身。所以只要不断分割，每次分割都取当前情况的最优解即可得到问题最优解。

接下来我们考虑怎么实现

我们用a保存原数，a[i][j]表示原数的从第i个数到第j个数大小。

举例：原数 124578

则a[2][4]保存的值则为2457。（高精度下可以用三位数组，最后一位将每一位数分别储存）

接下来我们用dp保存一段数的最大值，定义数组dp[][]，dp[i][j]表示将前i个数分成j段可以得到的最大值。我们知道当该段获得最大值时，该段与该段后数字的乘积才能得到最大值。

由此我们可以得到方程:

*dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k-1][j-1]a[k][i])

（高精度可以通过再数组上再扩充一维来保存每一位数）

设字符串长度为n，乘号数为k，如果n=50,k=1时，

有（n-1）=49种不同的乘法，当k=2时，有C(2，50-1)=1176种乘法，既C(k,n-1)种乘法，当n、k稍微大一些的时候，用穷举的方法就不行了。

设数字字符串为a1a2…an

K=1时：一个乘号可以插在a1a2…an中的n-1个位置，这样就得到n-1个子串的乘积：

a1*a2…an, a1a2*a3…an, …, a1a2…a n-1*an (这相当于是穷举的方法)

此时的最大值=max{a1*a2…an, a1a2*a3…an, … , a1a2…a n-1*an }

K=2时，二个乘号可以插在a1a2…an中n-1个位置的任两个地方， 把这些乘积

分个类，便于观察规律：

①倒数第一个数作为被乘数：

a1*a2 …a n-3 a n-2 a n-1*an，

a1a2 …*a n-2 a n-1*an，

a1a2 …*a n-1*an。

设符号F[n-1,1]为在前n-1个数中插入一个乘号的最大值,则的最大值为

F[n-1,1]*an。

②倒数第二个数作为被乘数：

a1*a2 …an-3 a n-2* a n-1，

an … a1a2 …*a n-2*a n-1an，

a1a2…*a n-3 a n-2* a n-1 an。

设符号F[n-2,1]为在前n-2个数中插入一个乘号的最大值,则的最大值为

F[n-2,1]*a n-1 an

③倒数第三个数作为被乘数：

… 设符号F[n-3,1]为在前n-3个数中插入一个乘号的最大值,则的最大值为

F[n-3,1]*a n-2 a n-1 an

…… a3~an作为被乘数：F[2,1]*a3 …a n-2 a n-1 an

此时的最大乘积为：

F[n,k]=max{F[n-1]*an，F[n-2,1]*a n-1 an，

F[n-3,1]*a n-2 a n-1 an，

F[2,1]*a3 …a n-2 a n-1 an}

设F表示在 i 个数中插入 j 个乘号的最大值，g表示从ai到aj的数字列，则可得到动态转移方程：

F = max{F*g, F*g,

F*g, …., F[j,j-1]*g[j+1,i]}

(1<=i<=n, 1<=j<=k)

边界： F =g[1,i] （数列本身）

阶段：子问题是在子串中插入j-1,j-2……1,0个乘号，因此乘号个数作为阶段的划分（j个阶段）

状态：每个阶段随着被乘数数列的变化划分状态。

决策：在每个阶段的每种状态中做出决策。

数据结构：

一道DP老题。

然而本菜鸡还是调了一下午+一晚上

一开始想到记忆化搜索，也就是区间DP，枚举断点（乘号在的位置），然后瞎搞搞。

后来发现可以不用记忆化框架

令f[i][j]表示前i个数放j个乘号得到的最大值

由于都是乘法，优先级一样，所以如果i之后还有乘号，可以之间调用这个f[i][j]进行运算，而无需考虑其内部的乘号是如何摆放的。

所以状态转移的时候只需枚举最后一个乘号在的位置

转移方程：f[i][j]=max(f[l][j-1]*num[l+1][i]);l是断点左边的位置，num[i][j]，表示原序列i位到j为所组成的数。

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C++源码：

#include
#include
using namespace std;
int n,k,a[50];
char s[50];
struct node{//用结构体储存数组；当然，也可以直接用三维数组，不过感觉这样更容易理解
    int v;bool exi;//v:数位,exi:是否存在
    int c[50];//高精度数组
}cut[50][10],ans[50];
node culc(int l,int r){//取数操作，注意：要从右往左取，因为高精度数组是从低位往高位排的，而读入的数字串是从高位到低位
    node e;
    e.v=r-l+1;e.exi=true;
    for(int i=1;i<=e.v;i++){
        e.c[i]=a[r-i+1];
    }    
    return e;
}
node mul(node e1,node e2){//高精度乘法
    node emul;
    emul.exi=true;emul.v=e1.v+e2.v-1;
    for(int i=1;i<=emul.v;i++) emul.c[i]=0;
    for(int i=1;i<=e1.v;i++)
        for(int j=1;j<=e2.v;j++)
            emul.c[i+j-1]+=e1.c[i]*e2.c[j];
    int q=0;        
    for(int i=1;i<=emul.v;i++){
        emul.c[i]+=q;
        q=emul.c[i]/10;
        emul.c[i]%=10;
    }
    while(q>0){
        emul.c[++emul.v]=q%10;
        q/=10;
    }
    return emul;
}
node Max(node e1,node e2){//高精度比较，类似字符串（然而如果是字符串的话我就直接strcmp了）
    if(!e1.exi||e1.v=1;i--){//都存在，且位数相同，则逐位比较
        if(e1.c[i]>e2.c[i]) return e1;
        else if(e2.c[i]>e1.c[i]) return e2;
    }
    return e1;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    scanf("%s",s);
    for(int i=0;i=1;i--) printf("%d",lastans.c[i]);//输出
    return 0;
}//写完注释感觉就像白痴代码一样啊。。。（内心：那你还写了半个上午？？？）

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Python源码：

n, k = map(int, input().split())
s = int('1' + input())
f = [[0 for i in range(k + 1)] for j in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
    f[i][0] = int(str(s)[1: i + 1])
for k1 in range(1, k + 1):
    for i in range(k1 + 1, n + 1):
        for j in range(k1, i):
            f[i][k1] = max(f[i][k1], f[j][k1 - 1] * int(str(s)[j + 1:i + 1]))
print(f[n][k])

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Pascal源码：

var
  n,k,i,j,i1,i2,i3:longint;
  f,sum:array[0..100,0..100] of ansistring;
  s:string;
  
function gjc(a1,b1:string):string;
var
  lena,lenb,lenc:longint;
  i,j,x:longint;
  a,b,c:array[0..200] of longint;
  k:string;
begin
  fillchar(a,sizeof(a),0);  
  fillchar(b,sizeof(b),0);  //重置数组
  fillchar(c,sizeof(c),0);
  lena:=length(a1); lenb:=length(b1);
  for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(a1[i])-48;  //转化为数字
  for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(b1[i])-48;
  for i:=1 to lena do  
    begin 
      x:=0; 	            //高精度运算                                                 
      for j:=1 to lenb do
        begin                                
          c[i+j-1]:=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1];              
          x:=c[i+j-1] div 10;
		  c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10;
        end;
      c[i+j]:=x;                                               
    end;
  lenc:=i+j;k:='';
  while (c[lenc]=0) and (lenc>1) do dec(lenc);
  for i:=lenc downto 1 do k:=k+chr(c[i]+48);
  exit(k);  //返回字符串
end;

function max(a,b:string):string;  //比较字符串的大小
var
  lena,lenb:longint;
begin
  lena:=length(a); lenb:=length(b);
  if (lena>lenb) then exit(a);
  if (lenab) then exit(a)
	  else exit(b);
end;
  
begin
  readln(n,k);
  readln(s);
  for i:=1 to n do
    for j:=1 to n do
      sum[i,j]:=copy(s,i,j-i+1);  //直接拷贝，当字符串处理
  for i:=1 to n do f[i,0]:=sum[1,i]; //初始化
  for i1:=1 to k do
    for i2:=i1+1 to n do
      for i3:=i1 to i2-1 do
        f[i2,i1]:=max(f[i2,i1],gjc(f[i3,i1-1],sum[i3+1,i2]));  //高精计算返回字符串比较
  writeln(f[n,k]);
end.

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Java源码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStream;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStream;
import java.io.PrintWriter;
import java.math.BigInteger;
import java.util.StringTokenizer;
 
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
//		long sta = System.nanoTime();
 
		InputStream is = System.in;
		OutputStream os = System.out;
 
		IN cin = new IN(is);
		PrintWriter cout = new PrintWriter(os);
 
		SO so = new SO();
		so.solution(cin, cout);
 
//		long end = System.nanoTime();
//		cout.println("耗时：" + (double)(end-sta)/1e6 + "ms");
 
		cout.close();
	}
 
	static final int MOD = (int)1e9 + 7;
	static class SO {
		void solution(IN cin, PrintWriter cout) {
			int N = cin.nextInt(), K = cin.nextInt();
			BigInteger[][] num = new BigInteger[N][N];
			BigInteger[][] dp = new BigInteger[N][K+1];
			
			//初始化num数组
			char[] cs = cin.next().toCharArray();
			for(int i=0;i0?one:dp[i][k];
					}
				}
			}
			
			cout.println(dp[N-1][K]);
		}//end solution
	}//end SO
	
	//以下是快读部分
	static class IN {
		private BufferedReader reader;
		private StringTokenizer tokenizer;
 
		IN(InputStream is) {
			reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(is), 32768);
			tokenizer = null;
		}
		
		public String next() {
			while (tokenizer == null || !tokenizer.hasMoreTokens()) {
				try {
					tokenizer = new StringTokenizer(reader.readLine());
				} catch (IOException e) {
					throw new RuntimeException(e);
				}
			}
			return tokenizer.nextToken();
		}
 
		public int nextInt() {
			return Integer.parseInt(next());
		}
 
		public long nextLong() {
			return Long.parseLong(next());
		}
 
		public double nextDouble() {
			return Double.parseDouble(next());
		}
 
	}
}