用二维向量的思维通俗理解复数和虚数

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在理解复数和虚数之前我们先看如何表示一个笛卡尔积坐标系下过原点的向量，如下图一所示

图一

向量之间还可以通过加法来合成，如下图二所示

图二

除此之外向量之间还有点乘和叉乘，但唯独没有向量乘法，即:。另外向量加法，点乘和叉乘运算都不能控制向量旋转，为此人们就想到了是否可以使用还没利用到的向量乘法来表示向量旋转。显然要实现向量旋转的目的，就需要使用新的模型表示过原点的向量，为此诞生了复数。

图三

如图三所示就是用复数表示向量的模型。同理复数加法运算(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i相当于向量的加法合成，合成的向量还是用复数表示。下面为了使复数表示的向量乘法能表示向量的旋转，我们制定了如下用乘法表示的旋转规则，见图四：

 图四

我们知道，要控制向量旋转，实质上就是控制向量在实轴的分量和虚轴分量的大小，由上图四乘法旋转规则可知，实轴分量大小可以由虚轴分量大小乘以 i 控制，而虚轴分量大小又可以用实轴分量大小乘以 i 控制，这样就开始有了交叉相乘的味道。

在介绍复数表示的向量乘法之前先介绍复数模和幅角的概念，为了描述复平面上的任意一点（即过复平面原点的向量），可以写成更为普遍的形式：

                      z=a+bi

其中a和b分别称为复数Z的实部和虚部。而Z的长度或“模(Modulus)”为Z点到复平面圆心处的距离,即,Z的幅角公式为下图五

图五(注: 幅角即为向量与实轴的夹角)

现在我们开始介绍重头戏：复数表示的向量乘法，假设r1=a+bi,r2=c+di,则

r1*r2=(a+bi)(c+di)=ac+bdii+adi+cbi=(ac-bd)+(ad+cb)i

这里ac-bd控制实轴分量大小，ad+cb控制虚轴分量大小。由上乘法可以很容易看出，r1借r2控制了自身的旋转，也可以说r2借r1控制了自身的旋转。直接给出结论：两个复数相乘的结果就是，让它们的模长相乘得到最终的模长，让它们的幅角相加得到最终的幅角。这也就解释了为什么说复数自带旋转属性，且有大小和方向的原因了，即 根据图四的旋转规则，实轴可以通过乘i旋转为虚轴，故有旋转属性，实轴有数值大小和正负，分别决定了旋转到虚轴分量的大小和分量方向，虚轴可以乘i旋转到实轴，虚轴有系数，系数大小和正负决定了旋转到实轴分量的大小和实轴分量方向。

下面引用知乎"怎么理解复数和虚数”的一个例题说明复数乘法的应用：