神经网络和深度学习-第二周神经网络基础-第三节：Logistic 回归损失函数

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在上一节中，讲解的是logistic回归模型。为了训练回归模型参数w和b，我们需要定义一个成本函数（cost function）。这是上一节中的函数：

\begin{equation}
\hat{y} = \theta (w^T x + b), \quad where \, \theta (z) = \frac{1} {1+e^{-z}}   
\quad \label{eq:Sample}
\end{equation}

为了让模型通过学习调整参数，需要一个大小为m的训练集：

{(x(1),y(1)),...(x(m),y(m))}

通过训练集，找到参数w和b，最终使得 y^(i)≈y(i) 。

符号说明：这里的 y^ 是对一个训练样本x来说的，对于每个训练样本，使用带有圆括号的上标进行引用说明和区分样本。这样，训练样本 x(i) 的预测值是 y^(i) ， y(i)^ 是用训练样本 x(i) 通过sigmoid函数作用到 wTx+b 得到的。

你也可以将 z(i) 定义成 z(i)=wTx(i)+b ，在这门课里，我们将使用这个符号约定：上标(i)来指明第i个数据样本。

现在我们看看损失函数（或叫作误差函数），它们可以用来衡量算法的运行情况（即衡量你的预测输出值 y^​ 和 y​ 的实际值有多近），你可以定义损失为 (y^−y)2​ 或 (y^−y)22​ 。结果表明你可以这样做，但通常在logistic回归中大家都不这么做，因为你在学习这些参数的时候，你会发现之后讨论的优化问题会变成非凸的，最后会得到很多个局部最优解，梯度下降法可能找不到全局最优值（后面课程会对此做详细讲解）。

误差平方在梯度下降法中不太好用，所以在logistic回归中损失函数如下：

l(y^,y)=−(ylogy^+(1−y)log(1−y^))

我们直观地看一下这个损失函数为何能起作用，之前我们说误差平方越小越好，同样对于这个logistic回归损失函数，我们也希望它尽可能地小。下面举两个例子。当 y=1 时损失函数为 −logy^ 此时若让损失函数尽可能小让 y^ 尽可能大（但永远不会大于1）。另一种情况，当 y=0 时损失函数为 −log(1−y^) ，此时若想要损失函数尽可能小， y^ 尽可能小即可（ y=0 ）。

最后说一下，损失函数是在单个训练样本中定义的，它衡量了在单个训练样本上的表现。下面我们定义一个成本函数，它衡量的是在全体训练样本上的表现，即所有训练样本的损失函数和：

J(w,b)=1m∑i=1ml(y^(i),y(i))=−[1m∑i=1m(y(i)logy^(i)+(1−y(i))log(1−y^(i)))]

所以损失函数只适用于单个训练样本，成本函数基于参数的总成本，所以，在训练logistic回归模型时，我们要找到合适的参数w和b，让成本函数 $J$尽可能地小。

这里logsitic回归可以被看作一个非常小的神经网络，下节会更直观地去理解神经网络能做什么。