c++求矩阵的秩_高等代数|第八章 矩阵 最小多项式与若尔当标准形
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本节主要介绍最小多项式与若尔当标准型的相关知识，这是考研中常考的一部分内容，几乎每个院校都有所考察，对于若尔当标准型，请大家先把第八章 矩阵的知识掌握，这样有利于更好的熟悉这一块内容,在真正考试的时候，拿到这一部分的分值.
一.最小多项式的定义和性质
定理1. Hamilton-Cayley定理：设A是域F上的n级矩阵，则A的特征多项式是A的一个零化多项式.
定义1. 设是域F上线性空间V的一个线性变换，在的所有非零的零化多项式中，次数最低的首项系数为1的多项式称为的最小多项式.
命题1. 线性空间V上的线性变换的最小多项式是唯一的.
证明： 设 和 都是 的最小多项式，则它们的次数相等且首项系数都为1，从而
的系数比的低，由于
因此也是 的一个零化多项式，根据最小多项式定义得，,即
命题 2. 设 是域 F 上的有限维线性空间 V 上的线性变换，则的最小多项式 与特征多项式 在 中有相同的根(重数可以不同).
证明: 由于的特征多项式 是 的一个零化多项式，因此
从而存在 使得
于是 的每一个根都是 的根.
反之，设 是 在 中的一个根，则 是 的一个特征值，于是存在
且使得
设
则有
由此得出：
因此 是 的一个根.
命题3. 相似矩阵有相同的最小多项式.
例1.求下述数域K上3级矩阵A的最小多项式
解：先求A的特征多项式
故A的最小多项式为
二.若尔当标准型
定理2. 设是域F上n为线性空间V上的线性变换，如果的最小多项式在F[中的标准分解式为
那么V中存在一个基，使得在此基下的矩阵A为Jordan形矩阵，其主对角元是的全部特征值；主对角元为 的 Jordan块的总数 为
其中 t 级 Jordan块 的个数 为
其中
这个 Jordan形矩阵 A 称为 的 Jordan 标准型；除去 Jordan 块的排列次序外， 的 Jordan 标准型是唯一的.
岩宝小提示：此定理在华东师范大学2019年高代第七题有所考察，请大家务必重视.
定理3. 域F上n维线性空间V上的线性变换 有 Jordan 标准型当且仅当 的最小多项式 在 中可分解成一次因式的乘积.
定义2. 设A是域F上的n级矩阵，如果A有 Jordan 标准型 J , 那么把 J 中所有 Jordan 块的最小多项式称为A的初等因子.
岩宝小提示：设 Jordan 标准型,如果A,B都有 Jordan 标准型，那么A与B相似当且仅当A与B有相同的初等因子.
定义 3. 设 -矩阵 的秩r.对于正整数k，中必有非零的k级子式.
中必有非零的k级子式.中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式 称为 的 k 级行列式因子.
定义4. 标准形的主对角线上非零元素
称为 矩阵 的不变因子.
例2.求矩阵
的 Jordan标准型.
解：
因此
从而主对角元为3的 Jordan 块数为3 - 2 = 1.于是A的 Jordan 标准型J为
例3.(2019华东师大)记为次数不大于n的关于x,y的实系数二元多项式生成的空间.记上线性变换
的 Jordan标准形.
证明：取 的一组基:
则 在这个基下的矩阵为
则A的特征多项式为
即 A 以 为 6 重特征值，即有
即 A 的 k 阶 Jordan块的个数 N(k) 分别为:
即可得 A 的 Jordan标准形为:
岩宝同步思考练习
1.求下列数域K上的矩阵的最小多项式.
(1)
(2)
2.(2020中山大学)已知5阶矩阵
求 的若尔当标准型.
3.(2020中国海洋大学)已知矩阵
(1)求出A的特征矩阵的等价标准型；
(2)写出A的不变因子，行列式因子，初等因子；
(3)写出A的特征多项式和最小多项式；
(4)写出A的若尔当标准型.
4.(2020北京科技大学)设矩阵
矩阵A可能有怎样的若尔当标准型；
5.(2012华东师大)求矩阵
的特征多项式，初等因子组，极小多项式以及Jordan标准型.
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