一元函数微分学的概念与计算

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一元函数微分学的概念与计算_第1张图片

一、导数定义

f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ △ x → 0 f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) △ x = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x_0)=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f(x0)=x0limxf(x0+x)f(x0)=xx0limxx0f(x)f(x0)

二、微分定义

设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某邻域内有定义,且 x 0 + △ x x_0+\triangle x x0+x 在该邻域内,对于函数增量 △ y = f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0) y=f(x0+x)f(x0) ,若存在与 △ x \triangle x x 无关的常数 A A A ,使得 △ y = A △ x + o ( △ x ) \triangle y=A\triangle x+o(\triangle x) y=Ax+o(x) ,其中 o ( △ x ) o(\triangle x) o(x) 是在 △ x → 0 \triangle x\to 0 x0 时比 △ x \triangle x x 更高阶的无穷小,则称 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可微,并称 A △ x A\triangle x Ax f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处的微分,记作 d y ∣ x = x 0 = A △ x dy|_{x=x_0}=A\triangle x dyx=x0=Ax 或者 d f ( x ) ∣ x = x 0 = A △ x df(x)|_{x=x_0}=A\triangle x df(x)x=x0=Ax 。又 △ x = d x \triangle x=dx x=dx ,故 d y ∣ x = x 0 = A d x dy|_{x=x_0}=Adx dyx=x0=Adx

三、计算

1. 基本求导公式

( log ⁡ α x ) ′ = 1 x ln ⁡ α ( α > 0 , α ≠ 0 ) (\log_\alpha x)'=\frac{1}{x\ln\alpha}(\alpha>0,\alpha\ne0) (logαx)=xlnα1(α>0,α=0)
( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)=1x2 1
( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x (\tan x)'=\sec^2x (tanx)=sec2x
( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arccosx)=1x2 1
( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x (\cot x)'=-\csc^2x (cotx)=csc2x
( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} (arctanx)=1+x21
( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 (arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2} (arccotx)=1+x21
( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x (\sec x)'=\sec x\tan x (secx)=secxtanx
( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x (\csc x)'=-\csc x\cot x (cscx)=cscxcotx
[ ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) ] ′ = 1 x 2 + 1 \left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} [ln(x+x2+1 )]=x2+1 1
[ ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) ] ′ = 1 x 2 − 1 \left[\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right]'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} [ln(x+x21 )]=x21 1

2. 复合函数求导

u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 在点 x x x 处可导, y = f ( u ) y=f(u) y=f(u) 在点 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 处可导,则:
{ f [ g ( x ) ] } ′ = f ′ [ g ( x ) ] g ′ ( x ) \left \{f \left [g \left (x \right ) \right ] \right \} ' = f' \left [ g\left( x \right) \right ] g'(x) {f[g(x)]}=f[g(x)]g(x)

3. 隐函数求导

等号两边同时对自变量求导即可。

4. 反函数求导

y x ′ = d y d x = 1 d x d y = 1 x y ′ y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x'_y} yx=dxdy=dydx1=xy1
y x x ′ ′ = d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d ( 1 x y ′ ) d x = d ( 1 x y ′ ) d y ⋅ 1 x y ′ = − x y y ′ ′ ( x y ′ ) 3 y''_{xx}=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dy}\cdot\frac{1}{x'_y}=-\frac{x''_{yy}}{(x'_y)^3} yxx=dx2d2y=dxd(dxdy)=dxd(xy1)=dyd(xy1)xy1=(xy)3xyy

5. 分段函数求导

分段点用定义法,非分段点用公式法。

6. 多项乘除、开方、乘方求导

使用对数求导法,将复杂函数的项转化为对数中的加减项处理。

7. 幂指函数求导

将幂指函数转化为指数函数求导。

8. 参数方程求导

d y d x = d y d t d x d t \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} dxdy=dtdxdtdy
d 2 y d x 2 = d ( d y d t ) d t d x d t = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) [ x ′ ( t ) ] 3 \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d(\frac{dy}{dt})}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{\left[x'\left(t\right)\right]^3} dx2d2y=dtdxdtd(dtdy)=[x(t)]3y(t)x(t)x(t)y(t)

9. 变限积分求导

F ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt F(x)=φ1(x)φ2(x)f(t)dt
F ′ ( x ) = f [ φ 2 ( x ) ] φ 2 ′ ( x ) − f [ φ 1 ( x ) ] φ 1 ′ ( x ) F'(x)=f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x) F(x)=f[φ2(x)]φ2(x)f[φ1(x)]φ1(x)

10. 高阶导数求导

  • 数学归纳法处理
  • 泰勒公式(麦克劳林展开)
  • 使用莱布尼茨公式: ( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)} (uv)(n)=k=0nCnku(nk)v(k)

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