一元函数微分学的概念与计算

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一、导数定义

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+△x)-f(x_0)}{△x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

二、微分定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且 $x_0+△x$ 在该邻域内，对于函数增量 $△y=f(x_0+△x)-f(x_0)$ ，若存在与 $△x$ 无关的常数 $A$ ，使得 $△y=A△x+o(△x)$ ，其中 $o(△x)$ 是在 $△x\to 0$ 时比 $△x$ 更高阶的无穷小，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，并称 $A△x$ 为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分，记作 $dy{|}_{x=x_0}=A△x$ 或者 $df(x){|}_{x=x_0}=A△x$ 。又 $△x=dx$ ，故 $dy{|}_{x=x_0}=Adx$ 。

三、计算

1. 基本求导公式

$$({\log }_{\alpha }x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln \alpha }(\alpha >0,\alpha \ne 0)$$
$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$$
$$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$$
$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$
$$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$
$$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$$
$$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$$
$${\left[\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
$${\left[\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

2. 复合函数求导

设 $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导，$y=f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 处可导，则：
$${\left\{f\left[g\left(x\right)\right]\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left[g\left(x\right)\right]g^{\prime }(x)$$

3. 隐函数求导

等号两边同时对自变量求导即可。

4. 反函数求导

$$y_x^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x_y^{\prime }}$$
$$y_{xx}^{\prime \prime }=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x_y^{\prime }})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x_y^{\prime }})}{dy}\cdot \frac{1}{x_y^{\prime }}=-\frac{x_{yy}^{\prime \prime }}{(x_y^{\prime }{)}^3}$$

5. 分段函数求导

分段点用定义法，非分段点用公式法。

6. 多项乘除、开方、乘方求导

使用对数求导法，将复杂函数的项转化为对数中的加减项处理。

7. 幂指函数求导

将幂指函数转化为指数函数求导。

8. 参数方程求导

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d(\frac{dy}{dt})}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y^{\prime \prime }(t)x^{\prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)}{{\left[x^{\prime }\left(t\right)\right]}^3}$$

9. 变限积分求导

$$F(x)={\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt$$
$$F^{\prime }(x)=f[{\phi }_2(x)]{\phi }_2^{\prime }(x)-f[{\phi }_1(x)]{\phi }_1^{\prime }(x)$$

10. 高阶导数求导

• 数学归纳法处理
• 泰勒公式（麦克劳林展开）
• 使用莱布尼茨公式：$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$$