人工智能必备数学基础（一）

导读：数学基础知识蕴含着处理智能问题的基本思想与方法，也是理解复杂算法的必备要素。今天的种种人工智能技术归根到底都建立在数学模型之上。

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高等数学基础包括有函数、极限、无穷小与无穷大、连续性与导数、偏导数、方向导数、梯度

函数（function）

 定义：通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变换的观点出发。函数的近代定义是给定一个数据集A，假设其中的元素为x，对A中的元素施加对应法则 f ，记做 f(x)，得到另一数据集B，假设B中的元素为y，则 x 和 y 之间的等量关系可以用 y = f(x) 表示。函数概念含有三个要素：定义域A，值域B和对应法则 f 。其中核心为对应法则 f，它是函数关系的本质特征。

 在一个变换过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为 x ，而 y 则随 x 值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称他们为常量。

　　自变量（函数）：一个与它量有关系的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

　　因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其对应。

　　函数值：在 y 是 x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，当 x 取 a 时， y 就 随之确定为 b，b 就叫做 a 的函数值。

　　注意：符号只是一种表示，任何符号都是帮助我们理解的，它本身没有特殊的含义。都是我们给予赋值操作，也可以如下：

极限

极限是高等数学中的一种重要的研究方法。极限概念是微积分的基本相念。极限是一种非初等运算，是微积分学研究的基本工具，后面将要介绍的函数的连续性导数、积分等重要概念,都是以极限为基础的。 

数列极限符号表示：

下面用几个示例图形象地表示极限 

 无穷小

 无穷小对应于函数极限为零的情形，但这一特殊极限却可用来表达一般的极限过程，且极限的概念、运算规则及分析证明常常都可归结为无穷小的讨论。它在微积的讨论中有着特殊重要作用。
无穷小概念与自变量的一定变化趋势相对应，以下就两种主要的情形给出无穷小的定义。

无穷小概念与自变量的一定变化趋势相对应，以下就两种主要的情形给出无穷小的定义。

证明：

来源：互联网 

 无穷大

 定义：函数只有当极限存在时讨论其极限才有意义，因此人们通常关注的是函数极限存在的情形。然而，有一类极限不存在的情形也受到人们的特别关注，这就是函数趋于无穷的情形。在此情形下， 函数极限虽不存在，但却具有和存在极限时类似的性质。此外，这种函数值趋于无穷的变化趋势还和无穷小有着密切的联系。

来源：互联网 

 连续性

设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量ΔxΔx趋近于0时，相应函数的改变量ΔyΔy也趋近于0，则称y=f(x)在点x0处连续。

 函数的连续性，函数f(x)在点x0处连续，需要满足的条件：1、函数在该点有定义。2、函数在该点极限 limx→x0f(x)limx→x0f(x)存在。3、极限值等于函数值f(x0)

例题，函数f(x)={x+1sinxxx⩽0x>0f(x)={x+1x⩽0sin⁡xxx>0在x=0处的连续性？

解：判断左右界限是否存在且先等。如下图所示

导数

 平均速度很好表示，如v=s/t，但是如何表示瞬时速度呢？

　常用导数 

偏导数

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变换）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。 

在一元函数中，导数就是函数的变化率。如下图所示，对于一元函数 y = f(x) 只存在 y 随 x 的变化：

二元函数 z = f(x, y) 存在 z 随 x 变化的变化率，随 y 变化的变化率，随 x,  y 同时变化的变化率：

在 XOY 平面内，当动点由 P(x0, y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x, y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x, y) 在 (x0, y0) 点处沿不同方向的变化率。在这里我们只学习函数 f(x, y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时，f(x, y) 的变化率。

　　偏导数的表示符号为：∂

　　偏导数反映的是函数沿着坐标轴正方向的变化率。

方向导数

在函数定义域的内点，对某一方向得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。

 定义：设函数 z = f(x, y) 在点 p(x, y) 的某一邻域 U(p) 内有定义，自点 p 引射线 l，自 x 轴的的正向到射线 l 的转角为 Ψ。P '(x + Δx, y + Δy) 为 l 上的另一点，若存在：

　　则称此极限值为 f(x, y) 在点 P 沿方向 l 的方向导数，记做 ∂f / ∂l，其计算公式为：

沿直线方向：设 M0 = (x0, y0, z0) 为数量场  u=u(M) 中的一点，从点 M0 出发引一条射线 l（其方向用 l 表示），在 l 上点 M0 的邻近取一动点 M(x0 + Δx, y0 + Δy， z0 + Δz)，记：

　　如图所示，若当 M -> M0 时，下分式的极限存在，则称它为函数 u(M) 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数，记做 ∂f / ∂l|M0,即：

梯度

其本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。 

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人工智能必备数学基础（二） 

https://blog.csdn.net/Java_college/article/details/120455020?spm=1001.2014.3001.5501

人工智能常用的十大算法

https://blog.csdn.net/Java_college/article/details/120367433?spm=1001.2014.3001.5501 

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