西瓜书+实战+吴恩达机器学习（十八）降维（主成分分析 PCA）

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0. 前言

维数灾难：在高维情形下出现的数据样本稀疏、距离计算困难等问题。

缓解维数灾难的方法是降维。

降维的好处：

1. 舍弃部分信息后能使得样本的采样密度增大
2. 当数据受到噪声影响时，舍弃的无关信息往往与噪声有关

1. 主成分分析PCA

主成分分析（Principal Component Analysis）是常用的降维方法。

PCA假设存在这样的超平面：

• 最近重构性：样本点到这个超平面的距离都足够近
• 最大可分性：样本点在这个超平面上的投影能尽可能分开，即方差最大化

PCA算法如下图所示（图源：机器学习），基于线性变换进行降维：$Z=W^{T}X$：

奇异值分解SVD：通常可以使用SVD代替特征值分解：$svd=U\Sigma V^T$，$\Sigma$的对角线元素为奇异值，选择最大的$d^{\prime }$个奇异值，对应向量为矩阵$U$的前$d^{\prime }$列。

设置一个阈值确定降维后需要保持多少的原始信息，以此来设定降维维度：
$$\frac{{\sum }_{i=1}^{d^{\prime }}{\lambda }_i}{{\sum }_{i=1}^d{\lambda }_i}⩾t$$
其中，$\lambda$表示特征值或者奇异值。

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