数二-函数与极限

$\star \star \star \star \star \star \star \star \star$基础$\star \star \star \star \star \star \star \star \star$

$a_{n+1}=(a_n-1{)}^2,a_1=0$
视频1-21
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洛必达法则及应用
数学函数绘图工具

邻域

$U(a,s)=\{x||x-a|<s\}$
去心邻域： $U(a,s)=\{x|0<|x-a|<s\}$

基础公式

$(a+b{)}^3=a^3+b^3+3a{b}^2+3a^{2}b$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^4+1=(a^2+1+\sqrt{2}a)(a^2+1-\sqrt{2}a)$
换底公式：${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$
$x^{\beta }\ll e^{ax}(x\to +\infty )$
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$

数列前n项和

等比：$$\begin{gathered} S_n=n{a}_1,q=1 \\ {S}_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},q\ne 1 \end{gathered}$$
等差：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$
裂项相消法

基本不等式

1. 三角不等式：$\left|\begin{array}{c}|a|-|b|\end{array}\right|\le |a\pm b|\le |a|+|b|$
2. $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$重要
3. $2ab\le a^2+b^2$
4. $\sin x\le x$
5. $e^x\ge x+1$
6. $x-1\ge \ln x，注意此时\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x-1}=1$
7. $x-1<[x]\le x$
8. $x+\sqrt{x^2+A}>0$
9. 

基本初等函数

$$\begin{gathered} 基本初等函数 \\ \{\begin{array}{l}{x}^a\\ a^x\\ {\log }_{a}x\\ \sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\csc x\\ \arcsin x,\arccos x,\arctan x,arccotx\end{array} \end{gathered}$$
$\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sin x}=\csc x\\ \frac{1}{\cos x}=\sec x\end{array}$
$\{\begin{array}{l}1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x\\ 1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x\end{array}$

基础三角函数

各种三角函数图像
基础三角函数
$$\begin{gathered} \sin 2x=2\sin x\cos x \\ \cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2\cos x-1=1-2\sin x \\ {\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2} \\ {\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2} \\ {\tan }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \\ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}(-1\le x\le 1) \\ \arctan x+arccotx=\frac{\pi }{2}(-\infty \le x\le +\infty ) \\ {\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x \end{gathered}$$

基础导数

$\ln (x+\sqrt{x^2+a}{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}$

函数性质的重要结论

• $f(x)在[-l,l]上有定义，则F_1(x)=f(x)-f(-x)为奇函数，F_2(x)=f(x)+f(-x)为偶函数。$
• $f(x)为可导偶函数，f^{{}^{\prime }}(x)是奇函数。$
• $f(x)为可导奇函数，f^{{}^{\prime }}(x)是偶函数。$
• $f(x)为周期为T的周期函数，f^{{}^{\prime }}(x)是周期为T的周期函数。$
• $f(x)在有限区间(a,b)内可导且f^{{}^{\prime }}(x)有界,则f(x)在(a,b)内有界。$
• $对\sqrt{u}，\sqrt[3]{u}的最值，可研究u；同理|u|形式研究\sqrt{u^2}即可。$

$x^a型函数图像$

$$x^a\{\begin{array}{ll}a=0;& 1\\ a>0& \{\begin{array}{ll}a为整数& \{\begin{array}{ll}a=2n& 图像单调区间与x^2相同\\ a=2n+1& 图像单调区间与x^3相同\end{array}\\ a为小数& 图像单调区间\sqrt{x}相同\end{array}\\ & \\ a<0& \{\begin{array}{ll}a为整数& \{\begin{array}{ll}a=2n& 图像单调区间与\frac{1}{x^2}相同\\ a=2n+1& 图像单调区间与\frac{1}{x}相同\end{array}\\ a为小数& 图像单调区间\frac{1}{\sqrt{x}}相同\end{array}\end{array}$$

函数与极限

奇偶性

$f(x)=f(-x)$ 偶函数
$f(x)=-f(-x)$ 奇函数
反函数
$y=f(x)=>x=f(y)$

---

例题：
$f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$
求奇偶性，反函数：
①：奇偶性：$x\in (-\infty ,+\infty )$
$f(-x)=ln(-x+\sqrt{x^2+1}=ln(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}})$
$$\begin{gathered} =-ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ =-f(x) \end{gathered}$$
②：反函数
$\{\begin{array}{l}x+\sqrt{x^2+1}=e^y\dots ①\\ -x+\sqrt{x^2+1}=e^{-}y\dots ②\end{array}$
由①②得：
$x=\frac{e^y-e^{-}y}{2}$

有界性

增减性

---

符号函数
$sgn(x)=\{\begin{array}{l}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array}$

$|x|=sgn(x)\ast x$

---

数列极限

$$\begin{gathered} \{a_n\}数列a-constant \\ \forall \xi >0,\exists N>0,\text{当n>N时} \end{gathered}$$
$$|a_n-a|<\xi$$
记作：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\xi \text{或}{a}_n\to \xi ,n\to \infty$

例：
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-1}{2n^2+1}=1$
$\forall \xi >0$

$$\left|\begin{array}{c}\frac{2n^2-1}{2n^2+1}-1\end{array}\right|=\frac{2}{2n^2+1}<\frac{1}{n^2}<\xi$$
$n>\sqrt{\frac{1}{\xi }}$
$\exists N=[\sqrt{\frac{1}{\xi }}],当n>N时$
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-1}{2n^2+1}=1$

---

性质

三角不等式：$\left|\begin{array}{c}|a|-|b|\end{array}\right|\le |a\pm b|\le |a|+|b|$
1、唯一性：$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=B，则A=B$
2、有界性
$\left|\begin{array}{c}|a_n|-|A|\end{array}\right|<\xi \leftrightarrow |a_n|<\xi +|A|$
3、保号性
$a_n=(-\frac{1}{n+1}{)}^n$

数列与子数列

定理：若数列$\{a_n\}$收敛且极限为A，则任取子数列也收敛且极限为A.
推论：

1. 若数列$\{a_n\}$存在子数列发散，则数列$\{a_n\}$也发散。
2. 若数列$\{a_n\}$存在任意个子数列收敛，但是极限不同，则$\{a_n\}$发散。

二阶递推问题

$f(a_{n+2},a_{n+1},a_n)$类型的数列通项公式,一般可以采用化为一阶递推的形式：$f(a_{n+2},a_{n+1})=\beta f(a_{n+1},a_n)$的类型解决问题。

递归式极限的几何意义

在$a_{n+1}=f(a_n)$的数列递归表达式中，取值线等价于$y=f(x)$，y值线等价于$y=x$，$y=x$相当于具有传递参数的功能函数（即将上一步的结果赋值给下一步赋值）。
在图像中，两条线相交处，即上一步结果无限逼近下一步赋值时（$|a_n-a_{a+1}|\to 0$），极限存在，且交点就是要求的极值点，若不相交，则不存在极值点。

---

函数极限

$\forall \xi >0,\exists \delta >0,当0<|x-a|<\delta 时$
$$|f(x)-A|<\xi$$
$a为函数f(x),x\to a时的极限$
例：
$\text{证：}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3-1}{x-1}=3$
$\forall \xi >0$
$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{c}\frac{x^3-1}{x-1}-3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{x}^2+x+1-3\end{array}\right| \\ |x+2|\ast |x-1|<4|x-1|<\xi \\ \therefore |x-1|<\frac{\xi }{4} \\ \therefore 取\delta =min\{\frac{\xi }{4},1\} \\ 当0<|x-1|<\delta 时，\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3-1}{x-1}=3 \end{gathered}$$

Case1:$$\begin{gathered} x\to +\infty \\ \forall \xi >0,\exists X>0,当x>X时 \end{gathered}$$
$$|f(x)-A|<\xi$$
$称A为f(x),当x\to +\infty 时的极限。$
例：
$证：\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2+1}=2$
$\forall \xi >0$
$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{c}\frac{2x^2}{x^2+1}-2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{2}{x^2+1}\end{array}\right|< \\ |\frac{1}{x^2}|<\xi \\ \therefore x>\sqrt{\frac{1}{\xi }} \end{gathered}$$
$取X=\sqrt{\frac{1}{\xi }}，当x>X时\left|\begin{array}{c}\frac{2x^2}{x^2+1}-2\end{array}\right|<\xi$
$\therefore \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2+1}=2$

---

性质

1、唯一性
2、局部保号性
$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A>0(<0)$
$$\begin{gathered} \exists \delta >0,当0<|x-a|<\delta 时 \\ f(x)>0(<0) \end{gathered}$$
3、局部有界性
$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=M\Rightarrow \exists X>0,M>0,当x>X时$
$$|f(x)|\le M$$

4、无穷小，无穷大
$\forall \xi >0,\exists \delta >0,当0<|x-a|<\delta 时$
$$|f(x)-0|<\xi 即$$
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$$
$$称f(x)当x\to a时的无穷小$$
$\forall M>0,\exists \delta >0,当0<|x-a|<\delta 时$
$$|f(x)|\ge M$$
$$称f(x)当x\to a时的无穷大$$

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运算法则

引理1：$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\Rightarrow f(x)=A+\alpha$
引理2：① $\alpha \to 0,\beta \to 0(x\to a)\Rightarrow \alpha \pm \beta \to 0(x\to a)$
② $\alpha \to 0,|\beta |\le M\Rightarrow \alpha \beta \to 0(x\to 0)$
如：$\underset{x\to a}{\lim }{x}^{2}sin\frac{1}{x}=0$
③ $\alpha \to 0(x\to a),\beta =constant\Rightarrow \alpha \beta \to 0$
④ $\alpha \to 0,\beta \to 0(x\to a)\Rightarrow \alpha \beta \to 0(x\to a)$
定理：$\lim f(x)=A,\lim f(x)=B$
$\lim f(x)g(x)=A\ast B$
$\lim f(x)\pm g(x)=A\pm B$
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$
例1：$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x^2-1} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+2}{x+1} \\ =\frac{3}{2} \end{gathered}$$
例2：$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+2x+4}{2x^2+x} \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}{2+\frac{1}{x}} \\ =\frac{1}{2} \end{gathered}$$

注：
$$\begin{gathered} P(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0 \\ Q(x)=b_m{x}^m+\cdots +b_{1}x+b_0(a_n\ne 0,b_m\ne 0) \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}=\{\begin{array}{l}\infty ,n>m\\ \frac{a_n}{b_n},n=m\\ 0,n<m\end{array} \end{gathered}$$

存在准则

夹逼定理

数列型
$\{\begin{array}{l}{a}_n<=b_n<=c_n\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=A\end{array}\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=A$
函数型
$\{\begin{array}{l}f(x)<=g(x)<=t(x)\\ \underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }t(x)=A\end{array}\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }g(x)=A$

单调有界函数必有极限

$\{\begin{array}{l}无上界:\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}_n=+\infty \\ 有上界:\exists M,\forall a_n\le M\end{array}$
$\{\begin{array}{l}无下界:\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}_n=-\infty \\ 有下界:\exists M,\forall a_n\ge M\end{array}$

例1：$a_1=\sqrt{2},a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}},\dots$
证明极限是否存在，并求此数列的极限。

证：$$\begin{gathered} a_1=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} \\ \therefore \{a_n\}单调递增 \\ 现证：a_n\le 2 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} a_1\le 2 \\ 设a_k\le 2 \\ {a}_{k+1}=\sqrt{2+a_k}\le 2 \\ \forall n,a_n\le 2 \\ \therefore \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n存在 \\ 令\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=A \\ {a}_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\dots \dots 同时取极限 \\ A=\sqrt{2+A} \\ \therefore A^2-A-2=0 \\ \therefore A=-1(舍去)A=2 \end{gathered}$$

例2：$a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n}).证明\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n存在.$

证：$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})\ge 1$
$$\begin{gathered} a_1\ge 1 \\ \therefore \{a_n\}有下界 \\ {a}_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{a_n}-a_n) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1-a_n^2}{a_n}\right) \\ <0 \\ \therefore a_n数列递减 \\ \therefore \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n存在 \end{gathered}$$

---

两个重要极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1,\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e,(\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e)$$

例题

例1：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}sin\frac{1}{n}$

$$\begin{gathered} 证：\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}sin\frac{1}{n} \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^{n+1}}\ast \frac{sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}\ast \frac{sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \\ =e \end{gathered}$$

例2：$\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^{2x}$

$证:\underset{x\to \infty }{\lim }[(1-\frac{1}{x}{)}^{-x}{]}^{-2}=e^{-2}$

例3：$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}{)}^n$

$$\begin{gathered} 证:\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{n+1}{)}^n \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\{[1+(\frac{1}{-(n+1)}){]}^{-(1+n)}{\}}^{-\frac{n}{1+n}} \\ =e^{\underset{n\to \infty }{\lim }-\frac{n}{n+1}} \\ =e^{-1} \end{gathered}$$

例4：$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+tanx}{1+sinx}{)}^{\frac{1}{x^3}}$

$$\begin{gathered} 证：\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+tanx}{1+sinx}{)}^{\frac{1}{x^3}} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }[(1+\frac{tanx-sinx}{1+sinx}{)}^{\frac{1+sinx}{tanx-sinx}}{]}^{\frac{1}{x^3}\ast \frac{tanx-sinx}{1+sinx}} \\ =e^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{1+sinx}\frac{tanx-sinx}{x^3}} \\ =e^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tanx-sinx}{x^3}} \\ =e^{\underset{x\to 0}{\lim }}\frac{tanx}{x}\ast \frac{1-cosx}{x^2} \\ =e^{\frac{1}{2}} \end{gathered}$$

无穷小比较

$$\begin{gathered} \beta \to 0,\alpha \to 0 \\ ①：\lim \frac{\beta }{\alpha }=0,\beta 是\alpha 的高阶无穷小. \\ ②：\lim \frac{\beta }{\alpha }=k(k\ne 0,k\ne 1),\beta 是\alpha 的同阶无穷小. \\ ③：\lim \frac{\beta }{\alpha }=1,\beta 是\alpha 的等价无穷小.记\beta \backsim \alpha \end{gathered}$$

常用等价无穷小

$$\begin{gathered} sinx\backsim x \\ tanx\backsim x \\ arcsinx\backsim x \\ arctanx\backsim x \\ {e}^x-1\backsim x \\ ln(1+x)\backsim x \\ {a}^x-1\backsim xlna(a>0,a\ne 1) \\ {\log }_a(1+x)\backsim \frac{x}{lna}(a>0,a\ne 1) \\ 1-cosx\backsim \frac{1}{2}{x}^2 \\ (1+\beta x{)}^{\alpha }-1\backsim \alpha \beta x \\ (1+x{)}^{\alpha }-1\backsim \alpha x \end{gathered}$$

例1：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x^2{)}^{\frac{1}{3}}-1}{cosx-1}$

$$\begin{gathered} I_1=\frac{\underset{x\to 0}{\lim }(1+x^2{)}^{\frac{1}{3}}-1}{\underset{x\to 0}{\lim }(cosx-1)} \\ =\frac{\frac{1}{3}{x}^2}{-\frac{1}{2}{x}^2} \\ =-\frac{2}{3} \\ {I}_2=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{1/3\ast \ln (1+x^2)}-1}{cosx-1} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x^2)\ast \frac{1}{3}}{cosx-1} \\ =\frac{\frac{1}{3}{x}^2}{-\frac{1}{2}{x}^2} \\ =-\frac{2}{3} \end{gathered}$$

例2：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+2x{)}^x-1}{xsinx}$

$$\begin{gathered} I=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x\ln (1+2x)}-1}{x^2} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln (1+2x)}{x^2} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x^2}{x^2} \\ =2 \end{gathered}$$

例3：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{tanx}-e^{sinx}}{x^3}$

$$\begin{gathered} I=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{sinx}\ast \frac{e^{tanx-sinx}-1}{x^3} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tanx-sinx}{x^3} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tanx}{x}\ast \frac{1-cosx}{x^2} \\ =\frac{1}{2} \end{gathered}$$

连续性与间断点

$f(x)在x_0邻域内有定义,\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)，则称f(x)在x_0处连续.$

$第一类间断点\{\begin{array}{l}f(a+0)=f(a-0)\ne f(a)可去间断点\\ f(a+0)\ne f(a-0)跳跃间断点\end{array}$
其他，第二类间断点

---

习题：$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-x+1}{(x-1{)}^2}$

$I=\infty$

$\underset{x\to \infty }{\lim }x(\sqrt{x^2+1}-x)$

$$\begin{gathered} I=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\frac{1}{x}} \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1}{\frac{1}{x^2}} \\ t=\frac{1}{x^2},t\to 0 \\ =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}\dots 洛必达 \\ =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{2\sqrt{1+t}} \\ =1/2 \end{gathered}$$

$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{2x+3}{2x+1}{)}^{x+1}$

$$\begin{gathered} I=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\right(1+\frac{2}{2x+1}{)}^{\frac{2x+1}{2}}{]}^{(x+1)\ast \frac{2}{2x+1}} \\ =e^{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x+2}{2x+1}} \\ =e^{\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{2x+1})} \\ =e \end{gathered}$$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tanx-sinx}{x^3}$

$$\begin{gathered} I=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tanx}{x}\ast \frac{1-cosx}{x^2} \\ =\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}{)}^{1/x}(a>0,b>0,c>0)$

$$\begin{gathered} I=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{\ln (\frac{a^x+b^x+c^x}{3})}{x}} \\ =\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{a^x\ln a+b^x\ln b+c^x\ln c}{a^x+b^x+c^x}} \\ =e^{\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}} \\ =(abc{)}^{1/3} \end{gathered}$$

$\underset{x\to \pi /2}{\lim }(sinx{)}^{tanx}$

$$\begin{gathered} I=\underset{x\to \pi /2}{\lim }{e}^{tanx\ln (sinx)} \\ =\underset{x\to \pi /2}{\lim }{e}^{\frac{ln(sinx)}{1/tanx}} \\ =e^{\underset{x\to \pi /2}{\lim }\frac{\ln (sinx)}{1/tanx}} \\ =e^{\underset{x\to \pi /2}{\lim }\frac{cosx/sinx}{-se{c}^{2}x/ta{n}^{2}x}} \\ =e^{\underset{x\to \pi /2}{\lim }-cosx\ast sinx} \\ =1 \end{gathered}$$

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{lnx-lna}{x-a}(a>0)$

$$\begin{gathered} I=\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{x} \\ =\frac{1}{a} \end{gathered}$$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xtanx}{\sqrt{1-x^2}-1}$

$$\begin{gathered} I=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{-\frac{1}{x}{x}^2} \\ =1 \end{gathered}$$

函数在闭区间的连续性

$f(x)\in c[a,b]\Rightarrow \{\begin{array}{l}(a,b)点点连续\\ \\ f(a)=f(a+0),f(b)=f(b-0)\end{array}$

性质：
1. f ( x ) ∈ c [ a , b ] , 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 存 在 m , M . 2. f ( x ) ∈ c [ a , b ] , ∃ k > 0 , ∀ α ∈ [ a , b ] , f ( α ) ≤ k . 3. f ( x ) ∈ c [ a , b ] , 且 f ( a ) f ( b ) < 0 , ∃ ξ ∈ ( a , b ) , f ( ξ ) = 0. （ 零 点 定 理 ） 4. f ( x ) ∈ c [ a , b ] , ∀ η ∈ [ a , b ] , 则 ∃ ξ ∈ [ a , b ] , f ( ξ ) = η ( 介 值 定 理 ) f(x)\in c[a,b],则f(x)在[a,b]上存在m,M.\\ 2.f(x)\in c[a,b],\exist k>0,\forall \alpha\in[a,b],f(\alpha)\le k.\\ 3.f(x)\in c[a,b],且f(