【程序人生】Hungarian Algorithm——匈牙利算法

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http://www.hungarianalgorithm.com/hungarianalgorithm.php
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匈牙利算法解决的问题

匈牙利算法（Hungarian Algorithm）是一种组合优化算法（combinatorial optimization algorithm），用于求解指派问题（assignment problem），算法时间复杂度为$O(n^3)$。

匈牙利算法的步骤

匈牙利算法包括下面四个步骤，第一步和第二步只执行一次，第三步和第四步重复执行，直到得到最优的指派方案。这个算法的输入是一个$n\ast n$的矩阵，且矩阵元素非负。

• 步骤一：每行元素减当前行最小值
  对于每一行，找到这一行的最小元素，这一行的每个元素都减去这个最小元素。
• 步骤二：每列元素减当前列最小值
  同样，对于每一列，找到这一列的最小元素，这一列的每个元素都减去这个最小元素。注意此时矩阵已经是经过第一步处理后的矩阵，如果这一列的最小值是0，那么就减0，而不是减输入矩阵中这一列的最小值。
• 步骤三：在矩阵上划横线或是竖线，用最少数量的线覆盖所有的0
  如果用线的数量等于矩阵的宽度$n$，则已经找到最优指派方案，算法结束。如果用线的数量小于矩阵的宽度$n$，则进行第四步。
• 步骤四：找到没有被线覆盖的矩阵元素中的最小值，这里把它命名为$k$。所有没有被线覆盖的矩阵元素减$k$，所有同时被两条线覆盖的矩阵元素加$k$。重复步骤三。

匈牙利算法的例子

这里有四份工作$J_1,J_2,J_3,J_4$需要分配给四个工人$W_1,W_2,W_3,W_4$，每个人只分配到一份工作。每个工人对应每份工作的要求劳务矩阵如下，这里用匈牙利算法求得总劳务最低的指派方案。

1. 每行减最小值
   
2. 每列减最小值
   
3. 用最少数量的线覆盖所有零元素
   
4. 线的数量为三，小于矩阵宽度四。所以找到没有被线覆盖的最小元素$k$，所有没有被线覆盖的元素减$k$，同时被两条线覆盖的元素加$k$
   
5. 重复执行步骤三
   
6. 线的数量为四，等于矩阵宽度四。找到最优指派方案，算法结束。
   

结语

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