隐私计算技术解读 | 一文读懂SealPIR-基于同态的隐私信息检索协议

隐私信息检索(Private information retrieval PIR)也称为隐匿查询或匿踪查询,在医疗、股票、金融、社交等领域中都有大量应用场景。近年来PIR技术研究逐渐丰富,行业对应用PIR实现隐私保护的呼声也随之高涨。

引 言

[SealPIR][1]是微软开源的PIR实现,实现了2018年发表在IEEE S&P的论文[ACLS18][2]中的PIR方案。论文题目《PIR with Compressed Queries and Amortized Query Processing》已经包含了两个主要的贡献点:

  • 对查询进行了压缩,通信量降低了274倍
  • 通过概率批量编码(probabilistic batch codes PBCs)可以同时执行多个查询,分摊查询处理的开销。

在近年的PIR协议研究中,特别是基于HE的PIR协议有很多进展,且大多数都是和SealPIR进行对比,因此理解SealPIR的原理也就有助于理解和跟踪he-based PIR近年来的发展。

本文将为小伙伴们介绍基于同态的隐私信息检索协议-SealPIR,欢迎大家在本文留言讨论。

1.PIR定义及分类

1.1 PIR定义

隐私信息检索(Private information retrieval PIR)是对信息检索(information retrieval IR)的一种扩展,最早在[CKGS95][3]中提出,用于保护用户查询信息,防止数据持有方得到用户的检索条件。

PIR协议目标可以定义为:Alice有共N行的数据库D,每一行的数据大小为L。Bob希望查询获得其中指定位置的某一行,但是不想告诉Alice自己查询的是哪一行。

隐私信息检索协议(PIR)需要满足正确性和安全性两方面的要求:

  • 正确性:用户得到要查询的数据
  • 安全性:服务端 无法知道 用户查询的是哪条数据
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1.2 PIR分类

1.2.1 服务器数量分类

按照服务器数量分类可分为多服务器PIR和单服务器PIR。

  • 多服务器PIR(MultiServer-PIR)

多服务器PIR一般基于信息论安全(Information-theoretic security)的密码技术,例如:基于函数密码分享(Function Secret Sharing)[BGI16][4]方案,也称为:IT-PIR。

多服务器PIR协议大体流程如下:

  1. 客户端生成查询条件的分量,发送给不同的服务器;
  2. 服务器收到查询条件的分量后进行相应的计算,返回给客户端;
  3. 客户端接收到所有服务器的响应后,将服务器查询响应看做秘密共享的分量进行合成,得到查询结果。

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为了保护查询信息的安全,多服务器PIR方案中要求服务器之间是不能合谋的,增加了系统实现和部署的难度。多服务器PIR方案中计算量相对较小,但通信量一般很大,大体规模是(1)

  • 单服务器PIR(SingleServer-PIR)

单服务器PIR一般基于公钥密码方案,特别是同态性质的公钥密码方案,安全性基于计算复杂理论,也称为CPIR。

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基于同态的单服务器PIR方案,大体流程如下:

  1. 客户端生成加密的查询向量,发送给服务端;
  2. 服务端接收到查询向量后,在本地执行同态运算,将结果返回给客户端;
  3. 客户端收到响应后,解密得到查询结果。

单服务器PIR方案一般通信量较少,但计算量较大,且容易部署。

1.2.2 按照检索条件分类
  • Index PIR/Dense PIR

服务端有n个元素的数据库={1,2,…,},用户查询第个元素,通过执行PIR协议,用户得到,服务端不知道用户查询的信息。由于用户的查询条件在一个连续的集合[1…],Index PIR也称为Dense-PIR。

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  • Keyword PIR/Sparse PIR

服务端的数据是(key,value)对构成的n个元素的数据库,用户选择自己要查询的key,通过执行PIR协议,用户得到key对应的value。这里查询条件key不能覆盖一个连续集合,例如:手机号或身份证,也称为Sparse PIR。

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1.3 PIR性能指标

PIR的性能指标主要包括计算量和通信量。

  • 计算量:计算量一般指的是服务端的计算量。

  • 通信量:通信量可细分为查询请求的通信量和响应的通信量。

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Trivial PIR中服务端没有计算量,将数据全部发给客户端,客户端在本地查询,通信量跟数据库中数据量n相关。因此PIR的通信量要求小于数据库的容量。对比IT-PIR和CPIR的计算量和通信量可以看到,IT-PIR在计算量较少,但通信量较大;CPIR计算量较大,但通信量较小。

除了计算量和通信量两个指标外,有些论文里还引入了成本(monetary)作为指标,成本(monetary)指标实际上是对计算量和通信量平衡得到的指标,更适用于实际业务需求。

2.基础知识

目前Single-PIR最好的协议大多基于近似同态算法(Somewhat homomorphic encryption SHE)设计的,SealPIR中用到的是[BFV12][5]算法。

2.1 BFV方案

[BFV12]将[Brakerski12][6]中的同态算法从LWE迁移到RLWE,RLWE因为有特殊的结构比LWE性能更好,例如,RLWE选择特定参数时,乘法可以使用NTT(Number Theoretic Transform)。BFV算法的参数包括:

  • 多项式次数:
  • 明文模: ,素数
  • 密文模: ,若干素数的乘积

明文空间是=[]/(+1),即:0+1+…+-2-2+-1-1

密文由两个多项式(0,1)构成,0,1=[]/(+1)。

密文扩张因子(Ciphertext expansion factor),是指SHE加密后得到密文相对明文的增大的比例,对于BFV算法,密文扩张因子=2()/()。

对于128bit安全,同态加密标准中给出了推荐参数。考虑上面的密文扩展因子,明文模取相对较大时,能获得较小的密文扩张;但进行密文同态计算时,明文模太大时,会导致噪声增长太快,明文模也不能取得太大。

SealPIR中BFV参数中N和q选择举例如下表:

多项式次数 明文模 密文模
2048 54bit
4096 38bit 109bit 2*36+37
8192 17bit 218bit 243+344

SealPIR中用到的同态运算:

  • 密文加法:

    明文1(),2()对应的密文是121+21()+2()的密文。

  • 明文乘密文:

    明文1()对应的密文是12()·11()·2()的密文。

  • 替换:

    明文()对应的密文是,对于奇数,(,)是()的密文。

    例如,()=7+2+23,(,3)得到(3)=7+{3}2+2{3}3=7+6+29的密文。

SHE的同态运算会引起噪声的增长,当噪声超过一定限制时,无法解密得到明文,所以要适当选择SHE算法的参数,及控制同态运算的噪声增长。

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2.2 HE-based PIR

HE-based PIR基本原理如下图所示:

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假设服务端数据量为,基本流程如下

  1. 客户端生成BFV算法的私钥和公钥(,);
  2. 客户端生成查询维0-1向量(0,…,0,1,0,…,0),其中查询index 的位置位1,其它位置为0;
  3. 客户端使用公钥加密查询向量的每个分量,得到((0),…,(0),(1),(0),…,(0)),发送给服务端;
  4. 服务端接收到密态查询向量后,和本地数据构成的维向量(1,2,…,),进行点乘,得到(0·1+…+0·-1++0·+1+…+0·),发送给客户端;
  5. 客户端对查询响应密文解密,得到待查询的数据

HE-based PIR协议可以抽象为四个子算法,即(Setup,Query,Answer,Extract),如下图所示:

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  • SETUP: 服务端 将数据库中的数据转换为HE明文
  • QUERY: 客户端根据查询index,生成密态查询向量
  • ANSWER: 服务端计算明文向量和密文向量的内积
  • EXTRACT: 客户端使用私钥解密查询响应密文,得到查询数据

3.SealPIR协议

HE-based PIR基本原理中的协议,存在的问题是

  • 查询请求的计算量和通信量都大,需要生成和发送个密文;
  • 服务端每个数据表示为一个HE明文,需要计算n为向量的内积,容易导致噪声太大,无法解密

SealPIR论文给出了解决上面的问题的办法:

3.1 将多个数据pack到一个HE明文

查询的db_index需要转换为plaintext_index

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假设数据库中数据长度为288字节(SealPIR论文中给出的长度),BFV参数选择:多项式次数8192,明文模16bit,举例说明一下pack的效果:

  • 数据库中每条数据,需要HE 明文多项式中个系数来表示(288*8/16)=144。
  • HE 一个明文多项式可以包含(8192/144)=56调数据库数据。
  • 对数据库的查询db_idx,需要转换为明文的查询plain_index=/56。
  • 用户得到查询相应密文,通过私钥进行解密,得到HE明文,将HE明文对应的系数进行组合,得到真正查询的数据。

3.2 将查询向量压缩到一个密文

显著减少通信量,服务端增加一个额外的Expand操作得到查询密文向量。

查询向量(0,…,0,1,0,…,0)压缩到一个HE明文多项式为例,查询向量中的每个分量对应为HE明文多项式中的系数。

0+1+…+-2-2+-1-1=_,其中:=0,≠_ , =1,=_。

对查询明文进行加密,得到(0+1+…+-2-2+-1-1)=(_)。

服务端接收到查询密文后,执行Expand算法,得到查询密文向量:((0),…,(0),(1),(0),…,(0))。

还是以上面packing的参数举例,每个HE明文可以pack 56个数据库数据,客户端查询时,将db_index转换为plain_index,即对HE明文数据库进行查询,最多可以查询8192个HE明文,转换成数据库数据,最多可以查询8192*56=458752条数据,不能满足实际业务中的需求。

为了满足实际将查询向量压缩到多个HE明文来表示查询向量,对于百万数据来讲,需要(1000000/8192)=123个HE明文,对应123个HE密文,才能表示百万数据的查询向量。为了进一步压缩查询密文的数量,可以使用下面的多维表示方法。

Expand算法的详细描述和证明可以参考[ACLS18][2]论文中的内容。

3.3 将数据库一维向量转换为多维向量

二维查询时将数据库数据表示为√*√的矩阵,减少查询向量

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以上面packing的参数举例,将数据库表示为2维数据时,通过两个查询密文可以查询的数据量是8192819256≈37亿,已经能满足绝大多数的数据库查询任务。数据库数据量为,通过packing后得到HE明文数量为′,是密文扩张因子,二维查询流程如下:

服务端:

  • 将HE明文表示为√′*√′的矩阵,其中√′<8192。
  • 是密文查询列向量,,其中是√′ * 1的密文列向量。
  • 将中每个密文拆分为份明文多项式,得到√′ * 矩阵
  • 是密文查询行向量,·, * 1得到的密文向量。

客户端:

  • 客户端收到个密文向量,使用私钥解密,将其组合成密文([,]),对使用私钥解密([,])得到真正的查询HE明文[,],对HE明文[,]中对应的系数进行组合,得到真正查询的数据。

服务端为了避免进行密文乘以密文的同态运算,第3步中将密文拆解成个明文进行操作,最后服务端发给客户端的查询响应是个密文,在多项式次数8096时,≈26,因此,服务端发给客户端的查询响应消息太大,这也是SealPIR主要的问题,后续的文章,主要目标是减少查询响应消息,在后面的性能对比中可以看到。

3.4 通过一次进行多个查询降低整体性能开销

SealPIR论文中还给出了通过PBC(probabilistic batch code)将数据库中的内容分成若干batch,同时执行k个查询时,分别对不同的batch进行查询,降低整体的性能开销。论文给出了基于CuckooHash的PBC构造方案。

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CuckooHash的hash数为3,bin数量为1.5,k为同时查询的数量。

服务端 预处理:

  • 对DB中n个index,分别计算cuckooHash的3个Hash,得到3个bin_index,将(db_index, data)插入到3个bin_index中。

客户端 预处理:

  • 对DB中n个index,分别计算cuckooHash的3个Hash,得到3个bin_index,将(db_index)插入到3个bin_index中。
  • 将k个查询,通过cuckooHash,插入到=1.5个bin中,对空的bin进行随机填充。
  • 对每个bin执行PIR,共计b个PIR,每个PIR的index,是客户端实际查询的data_idx,在bin中的索引。

从上图中可以看到,客户端生成的是CuckooHashTable和SimpleHashTable两张表,服务端生成的SimpleHashTable。客户端和服务端SimpleHashTable的差别在于,服务端SimpleHashTable有实际待查询的数据,服务端SimpleHashTable只是模拟了服务端插入过程,bin中有db_index。

3.5 SealPIR的性能

SealPIR论文Figure里给出single_query和multi-query的性能数据,多项式次数是2048,明文模式20bit,密文模式60bit,数据长度288字节,数据量220

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从上面可以看到,对于百万数据(220)单个查询的时间是3.3秒左右,多个查询(256)性能可以降到0.1秒左右。

4.其它改进协议

这里介绍一下21年的两篇PIR方面的文章:

  • 发表在USENIX21年的[ALP+21]2[7]

  • 发表在CCS21年的OnionPIR:[MCR21][8]

[ALP+21]题目是《Communication–Computation Trade-offs in PIR》是计算量和通信量平衡的PIR方案,该方案显著降低了查询响应的通信量,从成本(monetary)的角度看比SealPIR降低了35%。

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OnionPIR利用了somewhat homomorphic encryption(SHE)最新的进展,将两种lattice-based SHE 方案(BFV 和 RGSW)组合在一起,降低了查询响应的大小和计算量。还设计了基于状态(stateful)的PIR。

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从上面的数据看到,虽然相应的改进协议对查询响应大小都有较大改进,但整体运行时间方面和SealPIR差别不大,由于引入了更复杂的算法,实现成本也会变得更高,综合来看SealPIR在实际应用中还是相对较好的选择。

参考文献

[1][SealPIR] SealPIR: A computational PIR library that achieves low communication
costs and high performance, 2020. https://github.com/microsoft/SealPIR.

[2][ACLS18] S. Angel, H. Chen, K. Laine and S. Setty,"PIR with Compressed Queries and Amortized Query Processing,"2018 IEEE Symposium on Security and Privacy (SP), 2018, pp. 962-979, doi: 10.1109/SP.2018.00062.

[3][CKGS95] B. Chor, O. Goldreich, E. Kushilevitz, and M. Sudan"Private information retrieval", in Proceedings of IEEE 36th Annual Foundations of Computer Science, pp. 41-50, Oct 1995.

[4][BGI16] Elette Boyle, Niv Gilboa, and Yuval Ishai.Function secret sharing: Improvements and extensions. In CCS, 2016.

[5][BFV12] Junfeng Fan and Frederik Vercauteren. 2012.Somewhat Practical Fully Homomorphic Encryption.IACR Cryptol. ePrint Arch. 2012 (2012), 144.

[6][Brakerski12] Zvika Brakerski.Fully Homomorphic Encryption without Modulus Switching from Clas-sical GapSVP. IACR Cryptology ePrint Archive, 2012:78, 2012.

[7][ALP+21] Asra Ali, Tancrède Lepoint, Sarvar Patel, Mariana Raykova, Phillipp Schoppmann, Karn Seth, and Kevin Yeo.
Communication-computation trade-o s in PIR. In USENIX Security, 2021.

[8][MCR21] M. Mughees, Hao Chen, Ling RenOnionPIR: Response Efficient Single-Server PIR, CCS’21.

[9][CGN98] Benny Chor, Niv Gilboa, and Moni Naor.
Private information retrieval by keywords.
IACR Cryptology ePrint Archive, 1998:3, 1998.

[10][CHLR18] Hao Chen, Zhicong Huang, Kim Laine, and Peter Rindal.
Labeled PSI from fully homomorphic encryption with malicious security.
In ACM Conference on Computer and Communications Security, pages 1223–1237. ACM, 2018.

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