深入解读Logistic回归结果（一）：回归系数，OR
Logistic回归虽然名字叫”回归” ，但却是一种分类学习方法。使用场景大概有两个：第一用来预测，第二寻找因变量的影响因素。
一 从线性回归到Logistic回归
线性回归和Logistic回归都是广义线性模型的特例。
假设有一个因变量y和一组自变量x1, x2, x3, ... , xn，其中y为连续变量，我们可以拟合一个线性方程：
y =β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn
并通过最小二乘法估计各个β系数的值。
如果y为二分类变量，只能取值0或1，那么线性回归方程就会遇到困难: 方程右侧是一个连续的值，取值为负无穷到正无穷，而左侧只能取值[0,1]，无法对应。为了继续使用线性回归的思想，统计学家想到了一个变换方法，就是将方程右边的取值变换为[0,1]。最后选中了Logistic函数：
y = 1 / (1+e-x)
这是一个S型函数，值域为(0,1)，能将任何数值映射到(0,1)，且具有无限阶可导等优良数学性质。
我们将线性回归方程改写为：
y = 1 / (1+e-z),
其中，z =β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn
此时方程两边的取值都在0和1之间。
进一步数学变换，可以写为：
Ln(y/(1-y)) =β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn
Ln(y/(1-y))称为Logit变换。我们再将y视为y取值为1的概率p(y=1)，因此，1-y就是y取值为0的概率p(y=0)，所以上式改写为：
p(y=1) = ez/(1+ez),
p(y=0) = 1/(1+ez),
其中，z =β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn.
接下来就可以使用”最大似然法”估计出各个系数β。
二 odds与OR复习
odds: 称为几率、比值、比数，是指某事件发生的可能性(概率)与不发生的可能性（概率）之比。用p表示事件发生的概率，则：odds = p/(1-p)。
OR：比值比，为实验组的事件发生几率(odds1)/对照组的事件发生几率(odds2)。
三 Logistic回归结果的解读
我们用一个例子来说明，这个例子中包含200名学生数据，包括1个自变量和4个自变量：
因变量: hon，表示学生是否在荣誉班(honors class)，1表示是，0表示否；
自变量：
female ：性别，分类变量，1=女，0=男
read: 阅读成绩，为连续变量
write: 写作成绩，为连续变量
math：数学成绩，为连续变量
1、不包含任何变量的Logistic回归
首先拟合一个不包含任何变量的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0
回归结果如下（结果经过编辑）：
| hon |
系数β |
标准误 |
P |
| 截距 |
-1.12546 |
0.164 |
0.000 |
这里的系数β就是模型中的β0 = -1.12546，
我们用p表示学生在荣誉班的概率，所以有ln(p/(1-p) =β0 = -1.12546，
解方程得：p = 0.245。
odds = p/1-p = 0.3245
这里的p是什么意思呢？p就是所有数据中hon=1的概率。
我们来统计一下整个hon的数据:
| hon |
例数 |
百分比 |
| 0 |
151 |
75.5% |
| 1 |
49 |
24.5% |
hon取值为1的概率p为49/(151+49) = 24.5% = 0.245，我们可以手动计算出ln(p/(1-p) = -1.12546，等于系数β0。可以得出关系：
β0=ln(odds)。
2、包含一个二分类因变量的模型
拟合一个包含二分类因变量female的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0 +β1* female.
回归结果如下（结果经过编辑）：
| hon |
系数β |
标准误 |
P |
| female |
0.593 |
.3414294 |
0.083 |
| 截距 |
-1.47 |
.2689555 |
0.000 |
在解读这个结果之前，先看一下hon和female的交叉表：
| hon |
female |
Total |
|
| Male |
Female |
||
| 0 |
74 |
77 |
151 |
| 1 |
17 |
32 |
49 |
| Total |
91 |
109 |
|
根据这个交叉表，对于男性（Male），其处在荣誉班级的概率为17/91，处在非荣誉班级的概率为74/91，所以其处在荣誉班级的几率odds1=(17/91)/(74/91) = 17/74 = 0.23；相应的，女性处于荣誉班级的几率odds2 = (32/109)/(77/109)=32/77 = 0.42。女性对男性的几率之比OR = odds2/odds1 = 0.42/0.23 = 1.809。我们可以说，女性比男性在荣誉班的几率高80.9%。
回到Logistic回归结果。截距的系数-1.47是男性odds的对数（因为男性用female=0表示，是对照组），ln(0.23) = -1.47。变量female的系数为0.593，是女性对男性的OR值的对数，ln(1.809) = 0.593。所以我们可以得出关系: OR = exp(β)，或者β= ln(OR)（exp(x)函数为指数函数，代表e的x次方）。
3、包含一个连续变量的模型
拟合一个包含连续变量math的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0 +β1* math.
回归结果如下（结果经过编辑）：
| hon |
系数β |
标准误 |
P |
| math |
.1563404 |
.0256095 |
0.000 |
| 截距 |
-9.793942 |
1.481745 |
0.000 |
这里截距系数的含义是在荣誉班中math成绩为0的odds的对数。我们计算出odds = exp(-9.793942) = .00005579，是非常小的。因为在我们的数据中，没有math成绩为0的学生，所以这是一个外推出来的假想值。
怎么解释math的系数呢？根据拟合的模型，有：
ln(p/(1-p)) = - 9.793942 + .1563404*math
我们先假设math=54，有：
ln(p/(1-p))(math=54) = - 9.793942 + .1563404 *54
然后我们把math提高提高一个单位，令math=55，有：
ln(p/(1-p))(math=55) = - 9.793942 + .1563404 *55
两者之差：
ln(p/(1-p))(math=55) - ln(p/1-p))(math = 54) = 0.1563404.
正好是变量math的系数。
由此我们可以说，math每提高1个单位，odds（即p/(1-p)，也即处于荣誉班的几率）的对数增加0.1563404。
那么odds增加多少呢？根据对数公式：
ln(p/(1-p))(math=55) - ln(p/1-p))(math = 54) = ln((p/(1-p)(math=55)/ (p/(1-p)(math=54))) = ln(odds(math=55)/ odds(math=54)) = 0.1563404.
所以：
odds(math=55)/ odds(math=54) = exp(0.1563404) = 1.169.
因此我们可以说，math每升高一个单位，odds增加16.9%。且与math的所处的绝对值无关。
聪明的读者肯定发现，odds(math=55)/ odds(math=54)不就是OR嘛！
4、包含多个变量的模型（无交互效应）
拟合一个包含female、math、read的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) = β0 +β1* math+β2* female+β3* read.
回归结果如下（结果经过编辑）：
| hon |
系数β |
标准误 |
P |
| math |
.1229589 |
略 |
0.000 |
| female |
0.979948 |
略 |
0.020 |
| read |
.0590632 |
略 |
0.026 |
| 截距 |
-11.77025 |
略 |
0.000 |
该结果说明:
（1） 性别：在math和read成绩都相同的条件下，女性（female=1）进入荣誉班的几率（odds）是男性（female=0）的exp(0.979948) = 2.66倍，或者说，女性的几率比男性高166%。
（2） math成绩：在female和read都相同的条件下，math成绩每提高1，进入荣誉班的几率提高13%（因为exp(0.1229589) = 1.13）。
（3）read的解读类似math。
5、包含交互相应的模型
拟合一个包含female、math和两者交互相应的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0 +β1* female+β2* math+β3* female *math.
所谓交互效应，是指一个变量对结果的影响因另一个变量取值的不同而不同。
回归结果如下（结果经过编辑）：
| hon |
系数β |
标准误 |
P |
| female |
-2.899863 |
略 |
0.349 |
| math |
.1293781 |
略 |
0.000 |
| female*math |
.0669951 |
略 |
0.210 |
| 截距 |
-8.745841 |
略 |
0.000 |
注意：female*math项的P为0.21，可以认为没有交互相应。但这里我们为了讲解交互效应，暂时忽略P值，姑且认为他们是存在交互效应的。
由于交互效应的存在，我们就不能说在保持math和female*math不变的情况下，female的影响如何如何，因为math和female*math是不可能保持不变的!
对于这种简单的情况，我们可以分别拟合两个方程，
对于男性（female=0）：
log(p/(1-p))= β0 + β2*math.
对于女性（female=1）：
log(p/(1-p))= (β0 + β1) + (β2 + β3 )*math.
然后分别解释。
注：本文大量参考这篇文章：http://www.ats.ucla.edu/stat/mult_pkg/faq/general/odds_ratio.htm