解释一下积分变上限函数

本文从以下几个方面讨论这个问题

  1. 什么是变上限函数?
  2. 它如何求导?
  3. 广义的变上限函数求导方法–用牛莱公式一步到位!

1、积分上限函数的通俗理解

先看个例子:

考虑一个定积分:
A ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t ​ (1) A(b)=\int_{a}^{b} f(t) d t \tag{1} ​ A(b)=abf(t)dt(1)
如果把的上限在变化的话,那么这个过程就应该是这样的:

解释一下积分变上限函数_第1张图片

图片来自网络侵删。

上图其实是变上限函数 A ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t A(b)=\int_{a}^{b} f(t) d t A(b)=abf(t)dt 的几何变化情况, 当 b b b 为变量时这个綠色部分的 面积就是关于 b b b 的函数。这时我们把 b b b 换成 x , A ( b ) x, A(b) x,A(b) 记成 F ( x ) , F(x), F(x), 它就交成了这个函数:
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t (2) F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t \tag{2} F(x)=axf(t)dt(2)
称为积分变上限函数,有的地方又叫变上限函数,变上限积分。通俗地讲:就是定积分的上限是一个变量,而不是常量。

2、积分变上限函数的性质和导数

这个函数有很多良好的性质,其中一个最爽的性质就是:

  • 如果 f ( t ) f(t) f(t) 连续,那么 F ( x ) F(x) F(x) 连续且可导。

考虑它的导数定义式:
lim ⁡ Δ x → 0 F ( x + Δ x ) − F ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ a x + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ x x + Δ x f ( t ) d t Δ x (3) \begin{aligned} \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\int_{a}^{x+\Delta x} f(t) d t-\int_{a}^{x} f(t) d t}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) d t}{\Delta x} \end{aligned} \tag{3} Δx0limΔxF(x+Δx)F(x)=Δx0limΔxax+Δxf(t)dtaxf(t)dt=Δx0limΔxxx+Δxf(t)dt(3)

注意(3)式就很有意思了,它表示下图所示的红斜杠阴影部分的面积:

解释一下积分变上限函数_第2张图片

这里要用到积分中值定理:
∫ x x − Δ x f ( t ) d t = Δ x ⋅ f ( ξ ) (4) \int_{x}^{x-\Delta x} f(t) d t=\Delta x \cdot f(\xi) \tag{4} xxΔxf(t)dt=Δxf(ξ)(4)
简单地说就是有个点 ξ \xi ξ, 使得在这一点对应的 f ( ξ ) f(\xi) f(ξ) 作为高, Δ x \Delta x Δx 作为密的拒形面积, 等于红 綫阴影部分的曲边梯形的面积。注意这个 ξ \xi ξ 是在 [ x , x + Δ x ] [x, x+\Delta x] [x,x+Δx] 之间的,那么如果 Δ x → 0 \Delta x \rightarrow 0 Δx0 这个 ξ \xi ξ 就会无限趋于 x x x 。此时上述矩形的面积也就无限趋近于曲边梯形的面积。

解释一下积分变上限函数_第3张图片

于是把(4)代入(3)就得到:

lim ⁡ Δ x → 0 ∫ x x + Δ x f ( t ) d t Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 Δ x ⋅ f ( ξ ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( ξ ) = f ( x ) (5) \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \int_{x}^{x+\Delta x } f(t) d t }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \Delta x\cdot f(\xi)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(\xi)=f(x) \tag{5} Δx0limΔxxx+Δxf(t)dtΔx0limΔxΔxf(ξ)=Δx0limf(ξ)=f(x)(5)

注意:这步推导成立的前提是 f ( x ) f(x) f(x) 连续。

再把(5)代回(3),再注意到(3)其实就是 F ( x ) F(x) F(x) 的导数,于是:

F ′ ( x ) = d [ ∫ a x f ( t ) d t ] d x = lim ⁡ Δ x → 0 F ( x + Δ x ) − F ( x ) Δ x = f ( x ) (6) F^\prime(x)=\frac{d\left[\int_{a}^{x} f(t) d t \right]}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}= f(x) \tag{6} F(x)=dxd[axf(t)dt]=Δx0limΔxF(x+Δx)F(x)=f(x)(6)
一元函数连续一定可导,所以证明完成。

3、进入正题:用牛莱公式重新认识积分变上限函数

牛莱公式的定义是:

∫ a b f ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) (7) \int_{a}^{b} f(t) d t=F(b)-F(a) \tag{7} abf(t)dt=F(b)F(a)(7)
如果我直接用它来研究变上限函数会是怎样:

∫ a x f ( t ) d t = F ( x ) − F ( a ) (8) \int_{a}^{x} f(t) d t=F(x)-F(a) \tag{8} axf(t)dt=F(x)F(a)(8)
左右相等对不对?所以我左边要求导是不是右边也对应求导?

现在正题来了,直接考虑右端求导:

解释一下积分变上限函数_第4张图片

由于左右边求导等于右边求导,那么也就能得到(6)式。

接下来才是最正的题:

考虑(2)式最一般的情形:

Φ ( x ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( t ) d t (9) \Phi(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) d t \tag{9} Φ(x)=a(x)b(x)f(t)dt(9)
许多人第一次见到这个东西就吓到了,书上动不动就给你拆开分成两个。完全用不着!

这里仍然设 F ( x ) F(x) F(x) f ( x ) f(x) f(x) 的原函数,那么根据牛莱公式就有:

Φ ( x ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( t ) d t = F [ b ( x ) ] − F [ a ( x ) ] (10) \Phi(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) d t = F[b(x)]-F[a(x)] \tag{10} Φ(x)=a(x)b(x)f(t)dt=F[b(x)]F[a(x)](10)
那么此时再对 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) 求导是不是就感觉容易多了,没错,就是复合函数求导:

Φ ′ ( x ) = ( F [ b ( x ) ] − F [ a ( x ) ] ) ′ = F ′ [ b ( x ) ] ⋅ b ′ ( x ) − F ′ [ a ( x ) ] ⋅ a ′ ( x ) (11) \Phi^\prime(x)=\left(F[b(x)]-F[a(x)]\right)^\prime=F^\prime[b(x)]\cdot b^\prime(x)-F^\prime[a(x)]\cdot a^\prime(x) \tag{11} Φ(x)=(F[b(x)]F[a(x)])=F[b(x)]b(x)F[a(x)]a(x)(11)
搞定!

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