概率统计面试题

概率

条件概率：已知A事件发生，想要在此基础上求出B事件发生的概率时，需要考虑构建条件概率P(A|B)，即A事件发生条件下B事件发生的概率。条件概率的计算公式为：P(A|B)=P(AB)/P(B)。

概率和似然:

1. 概率：给定某⼀参数值，求某⼀结果的可能性的函数。

   例如，抛⼀枚匀质硬币，抛10次，6次正⾯向上的可能性多⼤？ 解读：“匀质硬币”，表明参数值是0.5，“抛10次，六次正⾯向上”这是⼀个结果，概率（probability)是求这⼀结果的可能性。

2. 似然：给定某⼀结果，求某⼀参数值的可能性的函数。

   例如，抛⼀枚硬币，抛10次，结果是6次正⾯向上，其是匀质的可能性多⼤？ 解读：“抛10次，结果是6次正⾯向上”，这是⼀个给定的结果，问“匀质”的可能性， 即求参数值=0.5的可能性。

实例面试题：

1. 抛硬币直到连续两次出现正面的概率，求扔的期望次数？

   假设期望次数为X，有三种情况：1.第一次为反面，则期望需要X+1次；2.前两次都为反面，则期望需要X+2次；3.前两次均为正面，结束。建立方程；解得X=6。

   X = 0.5 * (X+1) + 0.5 * 0.5 * (X+2) + 0.5 * 0.5 * 2

2. 50个红球50个白球放入两个黑箱，怎么分配摸到红球概率最大?

   1个红球放在一个箱子，其余99个球放在另一个箱子里。

   P（拿到红球）=0.5+0.5（49/99）≈ 0.75（74/99）

3. 一个班20个人，至少两个人同一天生日的概率？

   20个人可能的生日组合是365×365×365×……×365(20)个(a)；

   20个人生日都不重复的组合是365×364×363×……×346(20)个(b)；

   20个人生日有重复的概率是1-b/a。 这里，20个人生日全不相同的概率是b/a=0.59，因此50个人生日有重复的概率是1-0.59＝0.41

4. 两个孩子，已知一孩子是男孩，另一孩子是男孩的概率？

   1/2或者1/3。

   1/2：两者为独立事件，互不影响，故为1/2。

   1/3：如果区分顺序两个孩子可能为：男男，男女，女男，女女；已知其一为男孩，则可能为：男男，男女，女男；男男的概率为1/3。

5. 两个人相约在8点到9点时间段见面，彼此等15分钟，见不到人就走。两人在8点至9点任一时刻到达目的地，求两人能见面的概率？

   几何概型，绘制正方形[0,60,0,60]，|x-y|<=15，求该面积占正方形的面积的比例 = 1-45 * 45/60 * 60 = 7/16

假设检验

1. 概念

   1. 一种 判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是由本质差别造成 的统计推断方法。
   2. 对总体参数提出假设值，原假设与备择假设，通过样本构造检验统计量，最后计算检验值或P值与临界值或显著性水平进行比较，得出拒绝或接受原假设的结论

2. 基本思想：概率性质的反证法

   根据所考察问题的要求提出原假设和备择假设，为了检验原假设是否正确，先假定原假设是正确的情况下，构造一个小概率事件，然后根据抽取的样本去检验这个小概率事件是否发生。如果在一次试验中小概率事件竟然发生了，我们就怀疑原假设的正确性，从而拒绝原假设；反之，接受原假设

3. 基本方法

   常用的假设检验类型：Z检验、t检验、卡方检验、F检验

   检验方式：单侧/双侧检验

   1. 分析问题、确定原假设和备择假设。
   2. 确定适当的检验统计量，并计算其数值。
   3. 选择哪个统计量作为检验统计量需要考虑一些因素，例如进行检验的样本量多还是少，总体标准差是已知还是未知等等。
   4. 最后看这个数据是落在接受域还是拒绝域，如果落在接受域则接受原假设，如果落在拒绝域则接受备择假设。

4. 判断标准

   1. 显著性水平α：发生小概率事件的概率（0.05/0.01）
   2. p值：由无效假设所规定的总体做随机抽样，获得大于及等于（或等于及小于）现有统计量的概率。
   3. 置信区间：由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。

5. 推论

   1. 若P>α，就没有理由怀疑H0的真实性，结论为不拒绝H0，不否定此样本是来自于该总体的结论，也即差别无显著意义。
   2. 若P≤α，则拒绝H0，接受H1，也就是这些统计量来自不同的总体其差别不能仅由抽样误差来解释，结论为差别有显著性意义。

6. 延申面试题

   1. 参数估计和假设检验分别是什么？区别在哪里？

      1. 参数估计和假设检验都是样本去估计总体，都是建立在概率基础上的统计，可以相互转换
      2. 区别：
         1. 参数估计是用样本统计量估计总体参数的方法，以置信区间(大概率)估计总体参数。
         2. 假设检验是先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。利用小概率事件是否发生来判断假设是否成立。

   2. 说一下假设检验的显著性水平？

      假设检验是利用“小概率事件”原理做出统计判断的，而“小概率事件”是否发生与一次抽样所得的样本及所选择的显著性水平α有关，由于样本的随机性及选择显著性水平α的不同，因此检验结果与真实情况也可能不吻合，从而假设检验是可能犯错误的。

      一般地，假设检验可能犯的错误有如下两类：

      1. 弃真：当假设H0正确时，拒绝假设H0。称此为第一类错误，犯此类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率α，即P{拒绝H0/H0为真}=α；
      2. 取伪：当假设H0不正确，接受H0。称此为第二类错误，记β为犯第二类错误的概率，即P{接受H0/H0不真}=β。

      我们通常希望犯这两类错误的概率都很小。但当样本容量n固定时，α、β不能同时都小，α变小时β就变大，而β变小时α就变大。只有当样本容量n增大时，才有可能使两者变小。在实际应用中，一般原则是控制犯第一类错误的概率，即给定α，然后通过增大样本容量n来减小β。这种着重对第一类错误的概率α加以控制的假设检验称为显著性检验，α就是显著性水平。

   3. 假设检验相关的第一类错误、第二类错误，怎么降低第一类错误，如何同时降低第一类和第二类错误？

      • 第一类错误：弃真错误，即原假设为真却被拒绝的概率；

      • 第二类错误：取伪错误，即原假设为假却接受了原假设的概率。

        当样本量不变时，降低其中一类错误，则必然会使另一类错误增大，所以在实验中一般会优先控制犯第一类错误的概率，一般犯第一类错误的概率不超过5%,即当原假设为真时，接受原假设的概率超过95%。 通过增加样本量，可以同时降低犯第一类错误和第二类错误的概率，因为用样本去估计总体时，样本量越大，样本和总体之间的差异就会越小

不定期补充ing！