数字图像处理 - 频率域处理（一）关于傅里叶级数与傅里叶变换

基本知识：

1.复数     

 其中R（Real）为实部，I（Imag）为虚部，j = sqrt(-1)

其共轭复数为  

复数的模长 

2.复函数  

其中R（Real）为实分量函数，I（Imag）为虚分量函数， 

3.欧拉公式

在傅里叶级数的运算中，需要在三角函数中和指数中转换，所以我们引入欧拉公式

欧拉公式也被称为最完美的公式

周期函数 - 傅里叶级数：

首先，周期函数是客观世界中周期运动的描述，大多数可以描述为

其中  可理解为振幅， 可理解为频率， 可以描述为初相

但是世界上有许多周期函数信号并非正弦函数波那么简单，傅里叶就想能否用一系列三角函数之和来表示一个较复杂的周期函数呢？

于是傅里叶写下了一个公式：

其中  是变量，其他为常量 （但是随着函数进行傅里叶变换，将会变为变量，图像处理中对  的函数成为时域，对  的函数称为频域，这都是后话，暂时可以不提）

推导过程容易对人造成误导，这里只写下结果：

其中：

（具体推导公式图片会贴在文章最下方，建议不看）

以上公式是傅里叶级数三角函数形式，之前提过的欧拉公式可以将其转化为指数形式：

带入欧拉公式：

 得出：

移到左侧并令左侧

继续推导得到周期傅里叶级数最终形式：

其中    

傅里叶级数中必须先给定一个初始频率，之后的频率必须是的整数倍。

（连续函数的傅里叶变换，也就是标准傅里叶变换也是根据这个推导出的，证明过程在文章最后，了解就好，建议不看）

连续函数 - 傅里叶变换：

表示的是连续变量  的连续函数的傅里叶变换

重点 - 标准傅里叶变换：

   （A）

 意思是将傅里叶变换，变为，由于是对  积分，所以函数傅里叶变换后，自变量由  变为  ，

所以：

另外可以推出：

 （B）

其中（A）和（B）式称为 - 傅里叶变换对。

冲激函数及其取样特征：

冲激函数的作用：取样，冲激及其取样特征也是线性系统和傅里叶变换研究的核心

1.连续函数中量  在  处的单位冲击表示为 

  

 还被限制满足定义：

关于如下积分的取样特征：

 2.离散变量中，为离散变量，的处理方式相同于刚才的连续函数

 还被限制满足定义：

 取样特征：

 3.冲激串（信号取样利器）

关于冲激串，它的定义为无限个离散的周期冲激串单元之和，他定义为：

（之后的离散傅里叶变换DFT就是需要一个连续函数和取样函数共同得出。）

冲激和冲激串 - 傅里叶变换：

根据前面的周期函数的傅里叶级数（冲激串就是周期函数）得出冲激串函数为：

 假设冲击串函数是这样的：

 所以

 我们发现冲激函数在此区间仅仅在零点取样，

所以

代回原式为：

对上式子求傅里叶变换：

结论：周期为的冲激串傅里叶变换后仍是冲激串，周期为

（附上前面说的推理过程）