数字图像处理 - 频率域处理(一)关于傅里叶级数与傅里叶变换

基本知识:

1.复数     C = R+jI

 其中R(Real)为实部,I(Imag)为虚部,j = sqrt(-1)

其共轭复数为  C = R-jI

复数的模长 |C| = \sqrt{R^2+I^2}

2.复函数  F(u) = R(u)+jI(u)

其中R(Real)为实分量函数,I(Imag)为虚分量函数, j = \sqrt{-1}

3.欧拉公式

在傅里叶级数的运算中,需要在三角函数中和指数中转换,所以我们引入欧拉公式

e^x=cosx+jsinx

欧拉公式也被称为最完美的公式

周期函数 - 傅里叶级数:

首先,周期函数是客观世界中周期运动的描述,大多数可以描述为

f(t) = Asin(wt+\varphi )

其中 A 可理解为振幅,w 可理解为频率,\varphi 可以描述为初相

但是世界上有许多周期函数信号并非正弦函数波那么简单,傅里叶就想能否用一系列三角函数An sin(nwt+\varphi )之和来表示一个较复杂的周期函数呢?

于是傅里叶写下了一个公式:

f(t) = A0+\sum_{n=1}^{\infty }Ansin(nwt+\varphi )

其中 t 是变量,其他为常量 (但是随着函数进行傅里叶变换,w将会变为变量,图像处理中对 t 的函数成为时域,对 w 的函数称为频域,这都是后话,暂时可以不提)

推导过程容易对人造成误导,这里只写下结果:

f(t)=\frac{1}{2}a0+\sum_{n=1 }^{\infty }[ancos(nwt)+bnsin(nwt)]

其中:

a0=\frac{2}{T}\int_{t0}^{t0+T}f(t)dt

an=\frac{2}{T}\int_{t0}^{t0+T}f(t)cos(nwt)dt

bn=\frac{2}{T}\int_{t0}^{t0+T}f(t)cos(nwt)dt

(具体推导公式图片会贴在文章最下方,建议不看)

以上公式是傅里叶级数三角函数形式,之前提过的欧拉公式可以将其转化为指数形式:

带入欧拉公式:

e^x=cosx+jsinx

cos\theta = \frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2}

sin\theta = -j*\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2}

 得出:f(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty }^{\infty }\int_{t0}^{t0+T}f(t)e^{-jnwt}dt*e^{jnwt}

e^{jnwt}移到左侧并令左侧f(t)e^{jnwt}=Cn

继续推导得到周期傅里叶级数最终形式

f(t)=\sum_{-\infty }^{\infty }Cne^{j\frac{2\pi nt}{T}}

其中    Cn = \frac{1}{T}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}dt

傅里叶级数中必须先给定一个初始频率w,之后的频率必须是w的整数倍。

(连续函数的傅里叶变换,也就是标准傅里叶变换也是根据这个推导出的,证明过程在文章最后,了解就好,建议不看)

连续函数 - 傅里叶变换:

F[f(t)]表示的是连续变量 t 的连续函数f(t)的傅里叶变换

重点 - 标准傅里叶变换:

F[f(t)]=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j2\pi ut}dt   (A)

 意思是将f(t)傅里叶变换,变为F[f(t)],由于是对 t 积分,所以函数f(t)傅里叶变换后,自变量由 t 变为 u ,F[f(t)]=F(u)

所以:

F(u)=F[f(t)]=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j2\pi ut}dt

另外可以推出:

f(t)=\int_{-\infty }^{\infty }F(u)e^{j2\pi ut}du (B)

其中(A)和(B)式称为 - 傅里叶变换对。

冲激函数及其取样特征:

冲激函数的作用:取样,冲激及其取样特征也是线性系统和傅里叶变换研究的核心

1.连续函数中量 t 在 t=0 处的单位冲击表示为 \delta (t)

  

 还被限制满足定义:\int_{-\infty }^{\infty}\delta (t)dt=1

关于如下积分的取样特征:

\int_{-\infty }^{\infty}f(t)\delta (t)dt=f(0)

\int_{-\infty }^{\infty}f(t)\delta (t-t0)dt=f(t0)

 2.离散变量中,x为离散变量,\delta (x)的处理方式相同于刚才的连续函数\delta (t)

 还被限制满足定义:\sum_{-\infty }^{\infty}\delta (x) = 1

 取样特征:

\sum_{-\infty }^{\infty}f(x)\delta (x) = f(0)

\sum_{-\infty }^{\infty}f(x)\delta (x-x0) = f(x0)

 3.冲激串(信号取样利器)

关于冲激串,它的定义为无限个离散的周期冲激串单元之和,他定义为:

S\Delta T(t)=\sum_{-\infty }^{\infty }\delta (t-n\Delta T)

(之后的离散傅里叶变换DFT就是需要一个连续函数和取样函数共同得出。)

冲激和冲激串 - 傅里叶变换:

根据前面的周期函数的傅里叶级数(冲激串就是周期函数)得出冲激串函数为:

S\Delta T(t)=\sum_{-\infty }^{\infty }Cne^{j\frac{2\pi nt}{T}}

 假设冲击串函数是这样的:

数字图像处理 - 频率域处理(一)关于傅里叶级数与傅里叶变换_第1张图片

 所以Cn = \frac{1}{\Delta T}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}S\Delta T(t)e^{-j\frac{2\pi nt}{T}}dt

 我们发现冲激函数在此区间仅仅在零点取样,

所以Cn=\frac{1}{\Delta T}e^{0}=\frac{1}{\Delta T}

代回原式为:

S\Delta T(t)=\frac{1}{\Delta T}\sum_{-\infty }^{\infty }e^{j\frac{2\pi nt}{T}}

对上式子S\Delta T(t)求傅里叶变换:

S(u) = F[S\Delta T(t)] =\frac{1}{\Delta T}F[\sum_{-\infty }^{\infty }e^{j\frac{2\pi nt}{T}}]=\frac{1}{\Delta T}\delta (u-\frac{n}{\Delta T})

结论:周期为\Delta T的冲激串傅里叶变换后仍是冲激串,周期为\frac{1}{\Delta T}

(附上前面说的推理过程)

数字图像处理 - 频率域处理(一)关于傅里叶级数与傅里叶变换_第2张图片

数字图像处理 - 频率域处理(一)关于傅里叶级数与傅里叶变换_第3张图片

数字图像处理 - 频率域处理(一)关于傅里叶级数与傅里叶变换_第4张图片

你可能感兴趣的:(频率域处理操作,图像处理)