图论基础学习笔记
图论
-
- 1.简单图
- 2.简单图的补图
- 3.图的同构
- 4.完全图
- 5.偶图
- 6.完全偶图
- 7. k k k-正则图
- 8.途径-迹-路
- 9.邻接矩阵
- 10.关联矩阵
- 11.匹配
这里主要是我自己的一些笔记，帮助我自己快速记忆所用，可能没有定义这么完美。
1.简单图
简单图：无环无平行边的图。下图：左环右平行边
平凡图： G = ( 1 , 0 ) G=(1,0) G=(1,0)
零图： G = ( p , 0 ) G=(p,0) G=(p,0)
边数： e ≤ C n 2 e\leq C_n^2 e≤Cn2
2.简单图的补图
补图：对于 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，有 E 1 = { u v ∣ u ≠ v 且 u , v ∈ V } E_1=\{uv|u \neq v 且 u,v\in V\} E1={uv∣u=v且u,v∈V}，则 G G G 的补图为：
G ‾ = H = ( V , E 1 \ E ) \overline{G}=H=(V,E_1 \backslash E ) G=H=(V,E1\E) 注意：
1、简单图才有补图；
2、 n n n 阶简单图与其补图的顶点集是相同的；
3、 n n n 阶简单图任意一对顶点邻接(有边)的充要条件是这对顶点在补图中不邻接；
4、 n n n 阶简单图与其补图的边数之和等于完全图 K n K_n Kn 的边数。
3.图的同构
有 G = ( V , E ) , H = ( U , F ) ， ∣ V ∣ = ∣ U ∣ G=(V,E),\quad H=(U,F)，\quad |V|=|U| G=(V,E),H=(U,F)，∣V∣=∣U∣ 若 ∃ φ : V → U ( φ 是 双 射 ) 若 \exists \quad \varphi:V\rightarrow U\quad(\varphi是双射) 若∃φ:V→U(φ是双射) 且 v 1 v 2 ∈ E ⇔ φ ( v 1 ) φ ( v 2 ) ∈ F 且\quad v_1v_2 \in E\Leftrightarrow\varphi(v_1)\varphi(v_2)\in F 且v1v2∈E⇔φ(v1)φ(v2)∈F 则称 G G G 和 H H H 同构 ，记为 G ≅ H G\cong H G≅H（即给 V V V 中的顶点重新命名得到新的集合 U U U）。例如下图中，第一行的两个图是相等的，只是画法不同；在第二行，左图选出两个不同颜色的点交换位置，得到右图，则左图和右图为同构。
4.完全图
完全图：是一个简单图，图中任意一个顶点都与其他顶点有且只有一条边连接。 n n n 个顶点的完全图用 K n K_n Kn 表示，称为 n n n 阶完全图。例如：
从左往右依次为：1至5阶完全图，即为 K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 K_1,K_2,K_3,K_4,K_5 K1,K2,K3,K4,K5 ，完全图的边数为 C n 2 = n ( n − 1 ) 2 C_n^2=\frac{n(n-1)}{2} Cn2=2n(n−1)。
5.偶图
偶图：在一个图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中，顶点集 V V V 可分解为两个非空子集 X X X 和 Y Y Y，且边的两个顶点分别属于 X X X 和 Y Y Y （两个顶点不在同一个子集中），且属于同一子集的顶点不邻接，也没有环。偶图可以有平行边。如下图：
现实生活中的例子有很多，比如：老师和课程，一个老师可以教多个课程，一个课程可以有多个老师来教。
6.完全偶图
完全偶图：首先是简单偶图（简单图+偶图），其次 X X X 中的每个顶点都与 Y Y Y 中每个顶点相连。 若 ∣ X ∣ = n |X|=n ∣X∣=n， ∣ Y ∣ = m |Y|=m ∣Y∣=m，则完全偶图记为 K n , m K_{n,m} Kn,m，边数为 n m nm nm；如下完全偶图 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3，顶点分为两部分，蓝色集和红色集，每一个蓝色顶点都与全部红色的顶点邻接，且相同颜色的顶点不邻接。
7. k k k-正则图
k k k-正则图：设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 为简单图，若 ∀ v ∈ V \forall v\in V ∀v∈V，有 d ( v ) = k d(v)=k d(v)=k（顶点度数都为 k k k，环算2度），则 G G G 为 k k k-正则图。
8.途径-迹-路
途径： 图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 中的一个有限非空序列 w = v 0 e 1 v 1 e 2 v 2 ⋯ e n v n w=v_0e_1v_1e_2v_2\cdots e_nv_n w=v0e1v1e2v2⋯envn，顶点和边交替出现；途径中边数为途径的长度， v 0 v_0 v0 和 v n v_n vn 分别为途径的起点与终点，其余顶点为途径的内部点。
迹： 不包含重复边的途径，可以有重复顶点。
路： 不包含重复顶点的途径（一定是迹）。
注： 起点和终点重合的途径、迹、路分别称为图的闭途径、闭迹、圈，闭迹也称为回路。长度为 k k k 的圈称为 k k k 圈， k k k 为奇数时称为奇圈， k k k 为偶数时称为偶圈。
9.邻接矩阵
邻接矩阵：表示图中各顶点之间的关系，若邻接则为1，反之为0。如下图：
邻接矩阵为： [ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡0111101111001101⎦⎥⎥⎤
10.关联矩阵
关联矩阵：表示图中顶点与边之间的关系，通过关联次数来表示，0，1，2（环）。如下图：
关联矩阵为： [ 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡110001100101101010010002⎦⎥⎥⎤ 每列相加的和为2（因为一条边关联两个顶点）；每行和是对应顶点度数。
11.匹配
匹配：如果 F F F 是图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 的边子集（不含环），且 F F F 中任意两条边没有共同顶点，则称 F F F 为 G G G 的一个匹配或对集或边独立集。匹配是关于边的。如果图 G G G 中的顶点是 F F F 中某条边的端点，则称为 F F F 饱和点，反之为 F F F 非饱和点。
最大匹配： F F F 是图 G G G 的包含边数最多的匹配。
完美匹配：最大匹配包含了图 G G G 中的所有顶点。
注意：这些匹配都不一定唯一。