动态系统的建模与分析

参考：DR_CAN

相同领域的文章：

• 动态系统的建模与分析
• 自动控制原理
• Advanced控制理论
• 傅里叶级数与变换
• 工程数学

1.介绍

解决一个控制系统的问题：

• 对研究对象进行分析
• 控制器设计
• 测试

  分析被控对象的物理特性及动态表现，在这个基础上建立数学模型，数学模型可以是动力学模型、热力学模型、流体力学模型和经济学模型等，然后在数学模型的基础上进行控制器的设计，为满足不同的要求就要应用不同的控制方法（传统控制控制、PID控制、非线性控制、自适应控制和优化控制等）,紧接着选择测试平台，可以是仿真平台、实验室模型样机和真实设备等。最后不断将实验结果与模型比较，对数学模型不断的验证和更新。

涉及的内容：
动态系统建模：

• 电力，KCL，KVL
• 流体
• 热力学
• 机械系统

拉普拉斯+微分方程
时域分析
频域分析

2.电路系统建模

基础元件：

基础元件	单位	符号
电量	库仑（c）	$q$
电流	安培（A）	$i$
电压	伏特（V）	$e$
电阻	欧姆（Ω）	$R$
电容	法拉（F）	$C$
电感	亨利（H）	$L$

流速：$$i=\frac{dq}{dt}$$
电阻电压：$$e_R=iR$$

电量:$$q=C{e}_c$$
$$e_c=\frac{1}{C}q=\frac{1}{C}{\int }_0^{t}idt$$

电感：
$$e_L=L\frac{di}{dt}=L{i}^{\prime }$$

---

基尔霍夫定律
  KCL：所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这个节点的电流的总和。
$$i_1+i_2-i_3-i_4=0$$

  KVL：沿着闭合回路所有元件两端的电压的代数和为零。
$$e_R-e=0$$

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KVL:
$$e_L+e_C+e_R-e=0$$
$$L{i}^{\prime }+\frac{1}{C}{\int }_0^{t}idt+iR=e$$
两边求导：
$$L{i}^{\prime \prime }+i^{\prime }R+\frac{1}{C}i=e^{\prime }$$

---

$$\begin{gathered} L=2H \\ C=\frac{1}{4}F \\ {R}_1=1\Omega \\ {R}_2=3\Omega \end{gathered}$$

loop 1:
$$e_L+e_C-e_i=0$$
loop 2:
$$e_{R1}+e_{R2}-e_C=0$$

合并：
$$e_L+e_{R1}+e_{R2}-e_i=0$$
  这是一个大圈，因此在用KVL时，不一定都用小圈，也可用大圈。

$e_L=L{i}_1^{\prime }=2i_1^{\prime }$
$e_C=\frac{1}{C}{\int }_0^t(i_1-i_2)dt=4{\int }_0^t(i_1-i_2)dt$
$e_{R1}=i_2{R}_1=i_2$
$e_{R1}=i_2{R}_2=3i_2$

loop 1:
$$2L{i}_1^{\prime }+4{\int }_0^t(i_1-i_2)dt-e_i=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
loop 2:
$$4i_2-4{\int }_0^t(i_1-i_2)dt=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

由（1）（2）式得：
$$2i_1^{\prime }+4i_2-e_i=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
由（2）得：
$$\begin{gathered} i_2^{\prime }=i_1-i_2 \\ {i}_2^{\prime \prime }=i_1^{\prime }-i_2^{\prime }\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
由（3）（4）式得：
$$2(i_2^{\prime \prime }+i_2^{\prime })+4i_2=e_i\text{\hspace{1em}(5)}$$

求$e_o$和$e_i$的关系：
$$e_o=e_R=3i_2\text{\hspace{1em}(6)}$$

由（5）（6）式得：
$$2(e_o^{\prime \prime }+e_o^{\prime })+4e_o=3e_i$$

小结：
  KVL列方程，然后消掉自己定义的电流

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loop 1:
$$\begin{gathered} i_{1}R1+(i_1-i_2)R2-e_i=0 \\ \frac{16}{3}{i}_1-4i_2-e_i=0\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

loop 2:
$$\begin{gathered} (i_2-i_3)R3+i_{2}R4-(i_1-i_2)R2=0 \\ -4i_1+9i_2-3i_3=0\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

loop 3:
$$\begin{gathered} \frac{1}{C}{\int }_0^t{i}_{3}dt-(i_2-i_3)R3=0 \\ {i}_3=3C(i_2^{\prime }-i_3^{\prime })\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$

  我们的目的是找到$e_i$和$e_o$的关系,而$e_o=2i_2$,因此想先消去$i_1$和$i_3$，再消去$i_2$

由（1）（2）式得：
$$\begin{gathered} -4(\frac{3}{4}{i}_2+\frac{3}{16}{e}_i)+9i_2-3i_3=0 \\ 2i_2-i_3-\frac{1}{4}{e}_i=0\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$

由（3）（4）式得：
$$2i_2-3C(i_2^{\prime }-i_3^{\prime })-\frac{1}{4}{e}_i=0\text{\hspace{1em}(5)}$$

（5）式还有$i_3^{\prime }$没消去，为了不引入新的变量，对（4）式求导：
$$2i_2^{\prime }-i_3^{\prime }-\frac{1}{4}{e}_i^{\prime }=0\text{\hspace{1em}(6)}$$

由（5）（6）式得：
$$\begin{gathered} 2i_2-3C(i_2^{\prime }-(2i_2^{\prime }-\frac{1}{4}{e}_i^{\prime }))-\frac{1}{4}{e}_i=0 \\ 2i_2+3C{i}_2^{\prime }-\frac{3}{4}C{e}_i^{\prime }-\frac{1}{4}{e}_i=0\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$

只有电流$i_2$，这样就可以引入$e_o$了：
$$e_o+\frac{3}{2}C{e}_o^{\prime }=\frac{1}{4}{e}_i+\frac{3}{4}C{e}_i^{\prime }\text{\hspace{1em}(8)}$$

3.流体系统建模

流体系统的几个基本元素：
  此处默认为不可压缩的均质流体

密度	$\rho$	$kg/m^3$
流量flow rate	$q$	$m^3/s$
体积	v	$m^3$
高度hight	h	m
压强pressure	P	$N/m^2$

  压强有三个概念，比如说对于容器的液体来说，它的高度是$h$，横截面积是$A$，由流体重力产生的压强称之为静压（Hydrostatic Pressure）:
$$\begin{array}{rl}{P}_{Hydro}& =\frac{F_{Hydro}}{A}=\frac{mg}{A}=\frac{\rho Vg}{A}\\ & =\frac{\rho Ahg}{A}=\frac{\rho gh}{A}=\rho gh\end{array}$$

  除了液体的压强以外还有大气压强，绝对压强（Absolute Pressure）：
$$P_{abs}=P_a+P_{Hydro}=P_a+\rho gh$$

  测量出来的压力称为表压（Gauge Pressure）：
$$P_{gauge}=P_{abs}-P_a=\rho gh$$

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流阻Fluid Resistance
  产生流阻的原因是流体在流动的过程中，通过一些管道连接等，这些都会阻碍流体的流动，因此会产生压差，压差和流量相关：
$$P_1-P_2=\rho qR$$
  $\rho q=kg/m^3\cdot m^3/s=kg/s$:每秒钟通过横截面的流体的质量，两边的压力差越大，每秒钟流过的流体的越多。

  流阻和电阻的概念非常相似：
$$e_1-e_2=iR$$

理想压源
$$P_2=P_1+P_s$$

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基本法则-质量守恒定律Conseration of Mass
  有了基本元素，还需要基本法则把它们联系在一起，就像电路当中有基尔霍夫定律，在力学当中有牛顿定律一样，这里面我们用到的是质量守恒定律，容器内流体质量的变化：
$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}$$
式子两边除以$\rho$:
$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}={\dot{q}}_{in}-{\dot{q}}_{out}$$
$$\Rightarrow A\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}={\dot{q}}_{in}-{\dot{q}}_{out}$$
$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{A}({\dot{q}}_{in}-{\dot{q}}_{out})$$

  容器底部受到的压力：
$$P=P_a+\rho gh$$
   其动态方程为：
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(P_a+\rho gh)\\ & =\rho g\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}\\ & =\frac{\rho g}{A}({\dot{q}}_{in}-{\dot{q}}_{out})\end{array}$$

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  进口处为$q_{in}$,出口处$q_{out}$，容器得横截面积为$A$，出口流阻为u$R$，求液面高度的动态方程$\frac{dh}{dt}$.

  由质量守恒定律：
$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}={\dot{q}}_{in}-{\dot{q}}_{out}$$
$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{A}({\dot{q}}_{in}-{\dot{q}}_{out})$$

  流阻压差：
$$P_1-P_a=\rho q_{out}R$$
$$\begin{array}{rl}{q}_{out}& =\frac{P_1-P_a}{\rho R}\\ & =\frac{P_a-\rho gh-P_a}{\rho R}\\ & =\frac{gh}{R}\end{array}$$

$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=\frac{{\dot{q}}_{in}}{A}-\frac{gh}{AR}$$

4.拉普拉斯变换

  拉普拉斯变换是控制理论的基础，它广泛的应用于工程分析当中，它可以把时域($t$)上的函数变换到复数域($s=\sigma +jw$)上，从而大大简化系统分析的难度和复杂程度。
$$f(t)\to F(s)$$

  先从一个简单的电路系统开始，它的动态方程：
$$e^{{}^{\prime }}=L{i}^{{}^{\prime \prime }}+R{i}^{{}^{\prime }}+\frac{1}{C}i$$

  定义系统的输入为$e$，输出为$i$，分析电流的变化。本质上就是求解微分方程的过程，假设$g(t)$就是变化过程，$g(t)$隐含了系统的特征，就是微分方程表现出来的内容，三者的关系其实是一个卷积的过程。因此分析这样一个系统，它涉及到了卷积和微分方程，分析和计算起来都非常麻烦，而且不是很直观。拉普拉斯变换可以帮助我们解决这些问题，通过拉普拉斯变换，微分方程变成了代数方程，卷积运算变成了乘法运算。

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  对时域函数$f(t)$作拉普拉斯变换：
$$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

  $f(t)$是一个平面图形，经过拉普拉斯变换后三维的复数域。当$\sigma =0$时，从箭头的方向看过去，就是傅里叶变换，可以看到拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系。
$$F(s)=F(w)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt$$

  从上向下看就是复平面，做工程的往往会关注系统的极点和零点在复平面上的位置.

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对指数函数$f(t)=e^{-at}$的拉普拉斯变换
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}[f(t)]& ={\int }_0^{\infty }{e}^{-at}{e}^{-st}dt\\ & ={\int }_0^{\infty }{e}^{-(a+s)t}dt\\ & =-\frac{1}{a+s}{e^{-(a+s)t}|}_0^{\infty }\\ & =\underset{t\to \infty }{\lim }-\frac{1}{a+s}{e}^{-(a+s)t}-(-\frac{1}{a+s})\\ & =\frac{1}{a+s}\end{array}$$

  拉普拉斯变换的重要性质：符合线性变换，线性变换符合叠加原理
$$\mathcal{L}[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)$$

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正弦$\sin at$的拉普拉斯变换

根据欧拉公式转化为复指数
$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
$$e^{-i\theta }=\cos \theta -i\sin \theta$$
两式相减：

$$\begin{gathered} e^{i\theta }-e^{-i\theta }=2i\sin \theta \\ \sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i} \end{gathered}$$

$$\sin at=\frac{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}$$

  因为拉普拉斯变换是一个线性变换
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\left[\frac{e^{iat}}{2i}\right]-\mathcal{L}\left[\frac{e^{-iat}}{2i}\right]& =\frac{1}{2i}\left(\mathcal{L}\left[e^{iat}\right]-\mathcal{L}\left[e^{-iat}\right]\right)\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{s-ai}-\frac{1}{s+ai}\right)\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{2ai}{(s-ai)(s+ai)}\right)\\ & =\frac{a}{s^2+a^2}\end{array}$$

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导数的拉普拉斯变换
$$\mathcal{L}\left[f^{{}^{\prime }}(t)\right]={\int }_0^{+\infty }{f}^{{}^{\prime }}(t)e^{-st}dt$$

  复合函数求积分，用到分部积分：
$${\int }_0^{+\infty }{f}^{{}^{\prime }}(t)g(t)dt=f(t)g(t)-{\int }_0^{+\infty }f(t)g^{{}^{\prime }}(t)dt$$
$g(t)=e^{-st},g^{{}^{\prime }}(t)=-s{e}^{-st}$
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\left[f^{{}^{\prime }}(t)\right]& ={f(t)e^{-st}|}_0^{\infty }-{\int }_0^{+\infty }f(t)(-s{e}^{-st})dt\\ & =\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)e^{-st}-f(0)-s{\int }_0^{+\infty }f(t)(-e^{-st})dt\\ & =sF(s)-f(0)\\ & =sF(s)\end{array}$$
  $F(s)$为拉普拉斯变换，很多时候都把初始条件设置为$f(0)=0$。

  同理可得

$$\mathcal{L}\left[f^{{}^{\prime \prime }}(t)\right]=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{{}^{\prime }}(0)$$
$$\mathcal{L}\left[{\int }_0^{\infty }f(t)dt\right]=\frac{1}{s}F(s)$$

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卷积的拉普拉斯变换
  能够将卷积运算变成乘积运算，大大简化运算和分析的复杂程度。
$$\mathcal{L}\left[f(t)\ast g(t)\right]=F(s)G(s)$$

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  回到最初的电路的动态方程：
$$e^{{}^{\prime }}=L{i}^{{}^{\prime \prime }}+R{i}^{{}^{\prime }}+\frac{1}{C}i$$
  两端作拉普拉斯变换：
$$sE(s)=L{s}^{2}I(s)+sRI(s)+\frac{1}{C}I(s)$$
$$I(s)=\frac{s}{L{s}^2+sR+\frac{1}{C}}E(s)$$

  可以看到，经过拉普拉斯变换把微分方程变换为代数方程，它只有加减乘除，非常的简单。下图方框称之为传递函数。

5.拉普拉斯变换的收敛域（ROC）与逆变换（ILT）

指数函数的拉普拉斯变换：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}[f(t)]& ={\int }_0^{\infty }{e}^{-at}{e}^{-st}dt\\ & ={\int }_0^{\infty }{e}^{-(a+s)t}dt\\ & =-\frac{1}{a+s}{e^{-(a+s)t}|}_0^{\infty }\end{array}$$

  如果 $s=-2a，\mathcal{L}[f(t)]$是发散的
$${\int }_0^{\infty }{e}^{-(a+s)t}dt={\int }_0^{\infty }{e}^{at}dt$$

  加上限制条件，收敛域ROC：Region of lonvergence,把$s=\sigma +jw代入$
$${\int }_0^{\infty }{e}^{-at}{e}^{-（\sigma +jw）t}dt={\int }_0^{\infty }{e}^{-(a+\sigma )t}{e}^{-jwt}dt$$

  根据欧拉公式：
$$e^{-jwt}=\cos wt-i\sin wt$$
$$\left|e^{-jwt}\right|={\cos }^{2}wt+{\sin }^{2}wt=1$$

  $e^{-jwt}$这一项仅仅带来的是振动，并不会对系统的收敛产生影响。因此收敛域为
$$\begin{gathered} -(a+\sigma )<0 \\ \Rightarrow \sigma >-a \\ \Rightarrow Re(s)>-a \end{gathered}$$

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  前面我们已经知道，拉普拉斯能简化运算和分析，为什么还需要微分方程？因为微分方程能够描述动态世界的数学手段。

  在经典控制理论和现代控制理论当中，研究对象一般是常系数微分方程，对应的系统就是线性时不变系统，如果是非线性系统的话，一般会在平衡点附近作线性化处理，或者直接采用非线性分析手段。

  用拉普拉斯变换求解微分方程的三个步骤：

• 时域转化到复频域$t\to s$,这里用到拉普拉斯变换
• 求解代数方程
• 把结果从复频域转回时域，用到拉普拉斯逆变换

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拉普拉斯逆变换

例子
$$\begin{array}{rl}F(s)& =\frac{-s+5}{s^2+5s+4}\\ & =\frac{-s+5}{(s+4)(s+1)}\\ & =\frac{A}{s+4}+\frac{B}{s+1}\\ & =\frac{A(s+1)+B(s+4)}{(s+4)(s+1)}\end{array}$$
$$\Rightarrow A(s+1)+B(s+4)=-s+5$$

$s=-1:B(-1+4)=1+5\Rightarrow B=2$
$s=-4:-3A=9\Rightarrow A=-3$

$$F(s)=\frac{-3}{s+4}+\frac{2}{s+1}$$

  两端拉普拉斯逆变换：
$$\begin{gathered} {\mathcal{L}}^{-1}\left[F(s)\right]={\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{-3}{s+4}+\frac{2}{s+1}\right] \\ =-3e^{-4t}+2e^{-t} \end{gathered}$$

  $s=-1,s=-4$称为极点Pole

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$$\begin{array}{rl}F(s)& =\frac{4s+8}{s^2+2s+5}\\ & =\frac{4s+8}{(s+1+2i)(s+1-2i)}\\ & =\frac{A}{s+1+2i}+\frac{B}{s+1-2i}\end{array}$$
$\Rightarrow A=i+2,B=-i+2$

$$F(s)=\frac{i+2}{s+1+2i}+\frac{-i+2}{s+1-2i}$$

$$\begin{array}{rl}f(t)& ={\mathcal{L}}^{-1}[F(s)]=(i+2)e^{-(1+2i)t}+(-i+2)e^{-(1-2i)t}\\ & =e^{-t}\left(i{e}^{-2it}+2e^{-2it}-i{e}^{2it}+2e^{2it}\right)\\ & =e^{-t}\left(i\left(e^{-2it}-e^{2it}\right)+2\left(e^{-2it}+e^{2it}\right)\right)\\ & =e^{-t}(2\sin +4\cos 2t)\end{array}$$
其中，根据欧拉公式有
$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \text{\hspace{1em}(1)}$$
$$e^{-i\theta }=\cos \theta -i\sin \theta \text{\hspace{1em}(2)}$$
(2)-(1)
$$\sin 2t=-\frac{e^{-2it}-e^{2it}}{2i}$$
$$\cos 2t=\frac{e^{-2it}+e^{2it}}{2}$$

6.拉&传&微的关系

  重点讲解传递函数

  这部分内容非常重要，对经典控制理论、根轨迹、伯德图、信号处理等学习都有很大的帮助，因为都是从这里伸展出去的。

流体系统

$$\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}+\frac{g}{AR}h=\frac{{\dot{q}}_{in}}{A}$$

令A=1
$x=h$输出
$u=q_{in}$输入
$$\dot{x}(t)+\frac{g}{R}x(t)=u(t)$$

两端作拉普拉斯变换：
$$sX(s)+\frac{g}{R}X(s)=U(s),x(0)=0$$
$$s+\frac{g}{R}\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{1}{s+\frac{g}{R}}=G(s)$$

  $G(s)$称为传递函数

  假设系统的输入为常数，对常数作拉普拉斯变换

$u(t)=C=C{e}^0$
$$\mathcal{L}[u(t)]=C\frac{1}{s+0}=C\frac{1}{s}$$

$$\begin{array}{rl}X(s)& =U(s)G(s)=C\frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s+\frac{g}{R}}\\ & =C\left(\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\frac{g}{R}}\right)\\ & =C\frac{A(s+\frac{g}{R})+Bs}{s(s+\frac{g}{R})}\end{array}$$
$s=0:A=\frac{R}{g}$
$s=-\frac{g}{R}:B=-\frac{R}{g}$

$$\begin{array}{r}X(s)=C\left(\frac{R}{g}\frac{1}{s}-\frac{R}{g}\frac{1}{s+\frac{g}{R}}\right)\end{array}=\frac{CR}{g}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{g}{R}}\right)$$

$$\begin{array}{rl}x(t)& =\frac{CR}{g}\left(e^{0t}-e^{-\frac{g}{R}t}\right)\\ & =\frac{CR}{g}\left(1-e^{-\frac{g}{R}t}\right)\end{array}$$

  当时间$t\to \infty$，系统收敛到$\frac{CR}{g}$。系统的关键点在指数部分，$0t$不变，$\frac{CR}{g}t$随着时间不断的衰减，所以系统是稳定的。

7.一阶系统的单位阶跃响应

流体系统

动态方程：
$$\dot{x}(t)+\frac{g}{R}x(t)=u(t)$$

  输出是一阶，输入是单位阶跃，称为一阶系统的单位阶跃响应 Unit Step Response.

  一般形式：

$$u(t)=\{\begin{array}{c}0,t=0\\ 1,t>0\end{array}$$

$$\mathcal{L}[u(t)]=\frac{1}{s+0}=\frac{1}{s}$$

$$X(s)=\frac{1}{s}\cdot \frac{a}{s+a}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a}=\frac{A(s+a)+Bs}{s(s+a)}$$

$A(s+a)+Bs=a$
$s=-a:$B=-1
$s=0:$A=1

  两边作拉普拉斯逆变换：
$${\mathcal{L}}^{-1}\left[X(s)\right]={\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a}\right]$$
$$x(t)=1-e^{-at}$$
a越大收敛越快。

  时间常数 time constant $$t=\tau =\frac{1}{a}$$
$$x(\tau )=1-e^{-a\frac{1}{a}}=1-e^{-1}=0.63$$

即$\tau =\frac{1}{a}$的时候达到最终状态的63%。

有时候还会引入另一个概念-稳定时间(Steady State)（整定时间）Setting time
$$T_{ss}=4\tau$$
$$x(T_{ss})=x(\frac{4}{a})=1-e^{-a\frac{4}{a}}=1-e^{-4}=0.98$$

对于一阶线性系统来说，时间常数是特有的，因此可以用时间常数作系统识别。

根据上一节有：
$$x(t)=\frac{CR}{g}\left(1-e^{-\frac{g}{R}t}\right)$$

4秒钟达到稳定时间:
$$T_{ss}=4$$
$$\Rightarrow \tau =1$$
系统的传递函数：
$$G(s)=\frac{1}{s+\frac{g}{R}}$$
$$\Rightarrow \tau =\frac{R}{g}=1$$
$$\frac{CR}{g}=5\Rightarrow C=5$$

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一阶系统与信号处理

  一阶系统是一个低通滤波器，低通滤波器只反映了低频变化，高频变化则被过滤了。对于流体系统来说，容器内的液体就起到了抵抗高速变化的作用，是因为它有积累，所以说有积累的都是低通滤波器，它对高速变化不敏感。最典型的积累就是积分，如：
$$\int \cos x+\cos 100xdx=\sin x+\frac{1}{100}\sin 100x+C$$
  高频变化被缩放100倍，相当于被过滤掉了。所以说大家平时多做积累，有了容量以后面对高速变化的世界才可以做到处乱不惊。

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另一个角度

一阶线性时不变系统1st order LTI：
$$\dot{x}+ax=au,t\ge 0,u=1$$

$$\dot{x}=a(1-x)$$

$x(t)$单调增，$\dot{x}$逐渐减小，$x(t)$增加速度减缓，最后为零，可以得到一样的图。

其他情况，$a<0,x(0)\ne 0$等

Phase-Portrait

8.频率响应与滤波器

信号通过线性时不变系统后频率不变

$$M_i\sin (wt+{\varphi }_i)\to M_o\sin (wt+{\varphi }_o)$$

振幅响应 Magnitude Response：
$$\frac{M_o}{M_i}=M$$
辐角响应 Phase Response：
$${\varphi }_o-{\varphi }_i=\varphi$$

一般形式：
$$\begin{array}{rl}u(t)& =A\sin wt+B\cos wt\\ & =\sqrt{A^2+B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin wt+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos wt\right)\\ & =\sqrt{A^2+B^2}\left(\cos {\varphi }_i\sin wt+\sin {\varphi }_i\cos wt\right)\\ & =\sqrt{A^2+B^2}\sin (wt+{\varphi }_i)\\ & =M_i\sin (wt+{\varphi }_i)\end{array}$$

两边作拉普拉斯变换：
$$\begin{array}{rl}U(s)& =\frac{Aw}{s^2+w^2}+\frac{Bs}{s^2+w^2}\\ & =\frac{Aw+Bs}{s^2+w^2}\\ & =\frac{Aw+Bs}{(s+jw)(s-jw)}\end{array}$$
其中，$j=\sqrt{-1}$
$$G(s)=\frac{D(s)}{N(s)}=\frac{D(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}$$
$p_1,p_2,\cdots ,p_n$:极点Poles

$$\begin{array}{rl}X(s)& =U(s)G(s)\\ & =\frac{Aw+Bs}{(s+jw)(s-jw)}\cdot \frac{D(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}\\ & =\frac{K_1}{s+jw}+\frac{K_2}{s-jw}+\frac{C_1}{s-p_1}+\frac{C_2}{s-p_2}+\cdots +\frac{C_n}{s-p_1}\\ & =\frac{K_1(s-jw)N(s)+K_2(s+jw)N(s)+C_1(s+jw)(s-jw)+C_2(s+jw)(s-jw)(s-p_2)\cdots (s-p_n)+\cdots }{(s+jw)(s-jw)(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}\\ & =\frac{Aw+Bs}{(s+jw)(s-jw)(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}\end{array}$$

拉普拉斯逆变换：
$$x(t)=K_1{e}^{-jwt}+K_2{e}^{jwt}+C_1{e}^{p_{1}t}+C_2{e}^{p_{2}t}+\cdots +C_n{e}^{p_{n}t}$$

对于稳定系统，$p_1,p_2,\cdots ,p_n$的实部小于0，有
$$X_{ss}(t)=K_1{e}^{-jwt}+K_2{e}^{jwt}$$
ss:Steady State 稳态，由上式可以看出频率响应就是稳态响应。求$K_1,K_2$:

$$\begin{gathered} K_1(s-jw)N(s)+K_2(s+jw)N(s)+C_1(s+jw)(s-jw) \\ +C_2(s+jw)(s-jw)(s-p_2)\cdots (s-p_n)+\cdots =(Aw+Bs)D(s) \end{gathered}$$

$s=-jw$
$$K_1(-jw-jw)N(-jw)+0=(Aw-Bjw)D(-jw)$$
$$K_1=\frac{Aw-Bjw}{-2jw}\cdot \frac{D(-jw)}{N(-jw)}=\frac{B+Aj}{2}G(-jw)$$

$s=jw$
$$K_2=\frac{B-Aj}{2}G(jw)$$

复数表达：
$$G(jw)=\left|G(jw)\right|e^{j{\varphi }_G}$$

$$\begin{array}{rl}{X}_{ss}(t)& =\frac{B+Aj}{2}\left|G(jw)\right|e^{-j{\varphi }_G}{e}^{-jwt}\\ & +\frac{B-Aj}{2}\left|G(jw)\right|e^{j{\varphi }_G}{e}^{jwt}\\ & =\frac{1}{2}\left|G(jw)\right|\left((B+Aj)e^{-({\varphi }_G+wt)j}+(B-Aj)e^{({\varphi }_G+wt)j}\right)\end{array}$$

欧拉公式：
$$\begin{array}{rl}{e}^{-({\varphi }_G+wt)j}& =\cos (-({\varphi }_G+wt))+j\sin (-({\varphi }_G+wt))\\ & =\cos ({\varphi }_G+wt)-j\sin ({\varphi }_G+wt)\\ e^{({\varphi }_G+wt)j}& =\cos ({\varphi }_G+wt)+j\sin ({\varphi }_G+wt)\end{array}$$

X s s ( t ) = 1 2 ∣ G ( j w ) ∣ ( B cos ⁡ ( ϕ G + w t ) − B j sin ⁡ ( ϕ G + w t ) + A j cos ⁡ ( ϕ G + w t ) + A sin ⁡ ( ϕ G + w t ) + B cos ⁡ ( ϕ G + w t ) + B j sin ⁡ ( ϕ G + w