OpenCV-Python图像傅里叶变换Numpy实现
理论基础
图像处理一般分为空间域处理和频率域处理。
空间域处理是直接对图像内的像素进行处理。空间域处理主要划分为灰度变换和空间滤波两种形式。灰度变换是对图像内的单个像素进行处理，比如调节对比度和处理阈值等。空间滤波涉及图像质量的改变，例如图像平滑处理。空间域处理的计算简单方便，运算速度更快。
频率域处理是先将图像变换到频率域，然后在频率域对图像进行处理，最后再通过反变换将图像从频率域变换到空间域。傅里叶变换是应用最广泛的一种频域变换，它能够将图像从空间域变换到频率域，而逆傅里叶变换能够将频率域信息变换到空间域内。傅里叶变换在图像处理领域内有着非常重要的作用。
实现傅里叶变换
Numpy 提供的实现傅里叶变换的函数是 numpy.fft.fft2()，它的语法格式是：
返回值 = numpy.fft.fft2(原始图像)
这里需要注意的是，参数“原始图像”的类型是灰度图像，函数的返回值是一个复数数组（complex ndarray）。
经过该函数的处理，就能得到图像的频谱信息。此时，图像频谱中的零频率分量位于频谱图像（频域图像）的左上角，为了便于观察，通常会使用numpy.fft.fftshift()函数将零频率成分移动到频域图像的中心位置。
函数 numpy.fft.fftshift()的语法格式是：
返回值=numpy.fft.fftshift(原始频谱)
对图像进行傅里叶变换后，得到的是一个复数数组。为了显示为图像，需要将它们的值调整到[0, 255]的灰度空间内，使用的公式为：
像素新值=20*np.log(np.abs(频谱值))
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('images/lena.jpg',0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original')
plt.axis('off')
plt.subplot(122)
plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
plt.title('result')
plt.axis('off')
plt.show()
实现逆傅里叶变换
-
在傅里叶变换过程中使用了 numpy.fft.fftshift()函数移动零频率分量，那么在逆傅里叶变换过程中，需要先使用 numpy.fft.ifftshift() 函数将零频率分量移到原来的位置，再进行逆傅里叶变换
调整后的频谱 = numpy.fft.ifftshift(原始频谱)
-
numpy.fft.ifft2() 函数可以实现逆傅里叶变换
返回值=numpy.fft.ifft2(频域数据)
-
将该信息调整至[0, 255]灰度空间内
iimg = np.abs(逆傅里叶变换结果)
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('images/lena.jpg',0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
print(img)
iimg = np.abs(iimg)
# magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original')
plt.axis('off')
plt.subplot(122)
plt.imshow(iimg, cmap = 'gray')
plt.title('result')
plt.axis('off')
plt.show()
滤波
在一幅图像内，同时存在着高频信号和低频信号。
- 低频信号对应图像内变化缓慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的图像中，低频信号对应着颜色趋于一致的广袤草原。
- 高频信号对应图像内变化越来越快的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。如果在上面的大草原图像中还有一头狮子，那么高频信号就对应着狮子的边缘等信息。
滤波器能够允许一定频率的分量通过或者拒绝其通过，按照其作用方式可以划分为低通滤波器和高通滤波器。
- 允许低频信号通过的滤波器称为低通滤波器。低通滤波器使高频信号衰减而对低频信号 放行，会使图像变模糊。
- 允许高频信号通过的滤波器称为高通滤波器。高通滤波器使低频信号衰减而让高频信号 通过，将增强图像中尖锐的细节，但是会导致图像的对比度降低。
低频信号位于图的中心位置
- 实现高通滤波，将傅里叶变换结果图像中的低频分量值都替换为0（处理为黑色）。图中间的像素值都置零，需要先计算其中心位置的坐标，然后选取以该坐标为中心，上下左右各 30个像素大小的区域，将这个区域内的像素值置零。
- 实现低通滤波，将傅里叶变换结果图像中的高频信号值都替换为0（处理为黑色），就屏蔽了高频信号，只保留低频信号。需要构造一个下图中左图所示的图像，用它与原图的傅里叶变换频谱图像进行与运算，就能将频谱图像中的高频信号过滤掉。
高通滤波
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv2.imread('images/lena.jpg',0)
img_float32 = np.float32(img)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
rows, cols = img.shape
crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) # 中心位置
# 高通滤波
mask = np.ones((rows, cols), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
# print(fshift.shape)
fshift = fshift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
img_back = np.abs(img_back)
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
低通滤波
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv2.imread('images/lena.jpg',0)
img_float32 = np.float32(img)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
rows, cols = img.shape
crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) # 中心位置
# 低通滤波
mask = np.zeros((rows, cols), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1
# IDFT
fshift = fshift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
img_back = np.abs(img_back)
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
