sigmoid 和 softmax的区别在哪里？

今天看vision transformer的程序，看到sigmoid激活函数，偶然想起几个月前跟师兄争论注意力机制中使用sigmoid函数的合理性，发现自己错了，老脸一红

关于这两种函数的介绍网上有很多，为了方便就不列公式了，只说当时没有搞清楚的一点：sigmoid和softmax都是对一个batch_size的数据进行归一化到（0， 1）（这里用归一化可能有误导性，重点在（0， 1）），这两者有什么区别？

sigmoid相当于一种投影，即将大小不一的一组数据的每个数都映射在0-1之间，将原来的大尺度的值转换为0-1之间这种小尺度的值，但个人感觉这样做有一个问题就是会改变激活前数据的分布，因为sigmoid是一种非线性函数，举个形象一点的例子，地图将空间信息等比例缩放在一张纸上，同一批数据样本间的相对性不发生改变，因为位置信息前后映射关系是线性关系，而sigmoid不具备这种条件（但是又考虑到神经网络自学的特性，再追究脑子就不够用了）。一个batch_size中的样本使用sigmoid激活之后的和不一定为1，而是每个值都在0-1之间。

对于softmax，他的作用通俗理解就是做归一化，将数据归一化到（0， 1）之间，这种函数也会改变数据的原始分布，并且一个batch_size的权重相加之和为1，意味着样本本身特性的体现会受到batch_size大小的影响，所以很多CV的文章都没有用softmax。

用python做一个小测试，体会下两种函数对数据分布改变的影响：

sigmoid：

 

 softmax：

可以看到sigmoid相比softmax能够更大程度上保留数据的原始分布，除了个别的离散点之外，sigmoid对原来密集处的样本分布能够做到不错的还原，softmax显然就不行了。

ps：有没有大佬知道这方面的数学公式能给证明一下