限制玻尔兹曼机（RBM）学习笔记

作者：JUDGE_MENT

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最后编辑时间：2016.12.5  V1.1

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本来是看某博客及论文写的随笔，感觉网上好多的教程写的不清不楚，反正我是有一部分没太看懂，我就只能自己瞎写一下自己的思维过程。如果能帮助到后人一点点也算没有白写。同时毕竟水平有限，其中难免有纰漏。希望有饱含学识之士看到其中的问题之后，可以悉心指出，本人感激不尽。

一、预备知识

1. sigmoid函数 略

2. 贝叶斯定理

P(A)是先验概率，就是在一个事情发生之前我们对他的判断（语音识别：这个字儿是不是'好'，根据发音判断这是好的概率就是80%）

P(A|B)是后验概率，就是在事情B发生之后，我们对A发生概率的重新评估（语音识别：假如说识别的之前的字儿是‘你’，在这个前提下再判断这个字儿是'好'的概率）

是可能性函数，也就是修正因子，把先验概率按照发生的事儿修改成最有可能预估概率。

3. MCMC方法：蒙特卡罗马尔科夫

需求：我们要计算某一函数的期望，其中变量x的概率分布为（期望就是概率加权平均，如果概率都是一样的，那就是均值，所以可以看成概率论下的均值）。

问题：如果我们已经知道变量x的概率分布函数了，那么就很好办了。直接

举例：扔骰子。一个不均匀的骰子，你想知道这个骰子的数学期望。问题就是让你估计，所以你根本不知道这个骰子的概率分布是多少，如果你知道具体的期望：投中1的概率20%，投中2概率10%，3概率5%，那你就直接可以计算期望。 

问题：那么，并不知道x具体的概率分布那么怎么办？随机抽取样然后直接求平均就好了。

举例：扔骰子，一直扔，得到一串数字：1,2,4,6,2,3,5,4,2,1....   那么骰子的数学期望就是 .

公式化：求的数学期望，x服从分布，对于x抽取出, 计算出他们的,最后求均值就好了。即。当然我们抽取的个数要足够多。

3.1 马尔科夫链

问题：假如说我们已经定义好，那么如何从分布中采集样本？

思考：如果是均匀分布/正态分布，有成熟的方式可以采集无偏样本。那么不主流的分布呢？如何采样？

方法：利用马尔科夫链产生指定分布下的样本

马尔科夫链基础：首先有N个可能的状态：晴天，阴天，雨天；马尔科夫转移矩阵（变量）：当前状态转到下一状态的概率；马尔科夫链：预测多个时步下的结果的概率：今天晴，明天阴，后天雨，大后天晴的概率为80%。 

马尔科夫链提升：我们知道今天晴天概率为70%，多云概率20%，雨天概率为10%. 则 明天的晴云雨的概率=  [70% 20% 10%]*下面的转移矩阵  

马尔科夫链最终：如果晴云雨的概率可以一直这么波动且不会转移几次后重复，那么它最终会趋于平稳。我们如果想在某个分布下采样，那么只需以其为平稳分布的马尔科夫过程，经过多次转移之后，我们的样本分布就会充分接近于该平稳分布。

3.2 能量函数的由来-正则分布

正则分布跟正态分布不一样，是物理学家中用来描述一个物质所处的状态的概率的函数：

其中，Pi：系统处于状态i的概率

Ei：系统处于状态i时的能量

T：表示系统所处的温度

ZT：归一化因子（分配函数）

分析，同一温度下，能量越小的状态具有越大的概率。另一方面，当温度T升高时，概率分布会对能量越来越不敏感，并逐渐·趋近于均匀分布。特别是当T->无穷时，整个分布完全退化为均与分布，这时系统的状态变得完全随机。以水滴作为例子，此时所有的水分子将不再受整个系统能量的限制，而四散开来，从观赏看到的就是正法。

在机器学习领域，人们通常也像这样自定义能量函数。然后借鉴屋里规律去实现其他的功能，而正则分布就是沟通两者的桥梁。

就是E的那个地方，自己定义，然后代入正则分布，这样的话就有了我们MCMC中需要的x的概率分布Px。

3.3 Metropolis-Hastings采样（用马尔科夫链采样的技术）

在MCMC算法中，为了在一个指定的分布上采样，我们可以从任意一个状态出发，模拟马尔科夫过程，不断地进行状态转移。根据马尔科夫的性质，在经过足够的转移次数之后，我们所处的状态即符合目标分布，这时，该状态就可以作为一个采集到的样本。而算法的关键就是：设计出合理的状态转移过程。

当前状态：i --> 根据转移提议分布 --> 计算状态 i --> j 的概率...................................没看明白

3.4 Gibbs采样（用马尔科夫链采样的技术）

Gibbs采样是Metropolis-Hastings的特殊形式，平时用它就足够。

概率抽样：根据概率分布，按比例抽取会发生什么事件。

问题：甲 可以 （吃饭、学习、打球） 在（上午、下午、晚上）天气（晴朗、刮风、下雨），然后我现在要抽取一串样本如“打球+下午+晴朗”..等等..

已知：条件分布已知，好比在（上午+晴天）的条件下，吃饭概率40%学习概率20%打球概率40%。

转移：随便一个初始值，“学习+晚上+刮风” ---->根据条件概率---->三个变量依次修改（可以变成相同的变量）---->“吃饭+上午+刮风".

其他：同样的方法，得到一个序列，每个单元包含三个变量，也就是一个马尔可夫链。然后跳过初始的一定数量的单元（比如100个），然后隔一定的数量取一个单元（比如隔20个取1个）。这样sample到的单元，是逼近联合分布的。

二、网络结构

限制玻尔兹曼机，主要将玻尔兹曼机限制了2点：1.变成二分图 2. 各边内不准连接。

v层：可见层，输入特征。（好比黑白图片，v层就是某处是否为白色）

h层：隐含层

常量： --> 可见层和隐含层神经元数目       num of visiable /hidden

变量：  --> 权值矩阵    a --> 可见层偏置向量    b --> 隐含层偏置向量=（w,a,b）-->把所有变量放到一起

状态：v=(v1,v2,...)T    h=(h1,h2,...)T 可见层和隐含层的状态向量

三、能量函数和概率分布

RBM是基于能量的模型。

1. 对于上面网络，给定一组状态( v , h )，自定义一个能量函数：

     （也就是）

2. 根据正则分布（在上面），用能量函数得到联合概率分布

            其中，

3. 可见层v 的边缘分布与隐含层h的边缘分布(也称似然函数)：

   和  

4. 计算某一个神经元为1的条件概率，和 (上面是最主要的部分已经结束，下面的后续用到的推导部分)

推倒过程很简单，见

      （ 可见层这么个数据，然后得到隐含层第k个神经元为1的概率）

5. 某个可见层得到某个隐含层的概率：为这个隐含层所有神经元为相应的0或1概率的乘积

6. 专家乘积

四、最优化对数似然函数

已知：一批一共ns个训练样本  ，每一个，都是一个维的向量。

目标：让过去又回来最后得到的P()，这个是输入的样本，让这个P()最大！ 所有函数的P都最大，那么就是乘积最大。

最大化如下似然： 

对数化目标：最大化如下对数似然：

五、梯度计算

问题：计算似然函数时最大的时候的 
思路：
是什么？ 
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latex码{   lnL_{\theta,S}=\sum_{i=1}^{n_{s}}lnP(v^{i})=\sum_{i=1}^{n_{s}}ln\frac{1}{Z_{\theta }}\sum_{h}e^{-E_{\theta }(v,h))}=\sum_{i=1}^{n_{s}}\{ln\sum_{h}e^{-E({\color{Red} v},h)}-ln\sum_{v,h}e^{-E(v,h)}\}  }
解读：分为红色v，是特定的单个训练样本，这是观测到的数据；另一个是黑色的v，其实是归一因子，与具体的观测数据v无关。
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要对求导，能量函数中包含。
第一个叠加先不看，先对大括号内求导得到：

latex码{ \frac{\partial lnP(v))}{\partial \theta }=-\sum_{h}P(h|v)\frac{\partial E(v,h)}{\partial \theta }+\sum_{v,h}P(v,h)\frac{\partial (v,h)}{\partial \theta } }
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中包括Wij ai bi，所以分别讨论：
求wij的梯度：

求ai的梯度：

求bi的梯度：

latex代码{ -\sum_{h}P(h|{\color{Red} v})\frac{\partial E({\color{Red} v},h)}{\partial b_{i} }+\sum_{v,h}P(v,h)\frac{\partial (v,h)}{\partial b_{i} }=P(h_{i}=1|{\color{Red} v})-\sum_{v}P(v)P(h_{i}=1|v) }
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把原来的叠加大括号再加回去。其实就是有很多的训练数据，然后每个数据计算各梯度，最后全加起来，然后修改相应的w a b。

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上面这公式，第一项好求，三.4都把公式写出来了；但是第二项，以w为例，就是函数的数学期望，其中变量v的分布为，可以用Gibbs采样，然后用采样出来的V对这个求和进行估计。
但是难点在于，MCMC采样需要转移次数够多才行。计算复杂度高。

六、对比散度算法

        为了求最佳的参数W，a，b，我们梯度下降，但是其中的导数，第二部分难以求解，需要用用gibbs采样对P(v)抽样出来一大堆小v，然后再蒙特卡洛求均值这样求解。

问题：gibbs采样需要一直转移1000次再抽样才能真的按照p(x)这概率分布进行。这样太慢了。

解决： 就不要再转移1000次之后，在抽取100个v什么的了，我们从 训练集的这个v作为出发点（..原来直接是随机的出发点），转移k次就够了，而且之前需要转移1000次之后在 。

6.1 过程： 

1. 选择训练集的一个样本 v 。

2. 对中的第二部分看作求 这个函数的 期望（其中v的概率分布为）。既然是求期望就可以用gibbs采样。

3. 计算从训练集的一个点 作为出发点，以和这两个为转移矩阵，计算k步之后的，然后用这一个代替很多抽取的v。

4. 公式变成：

4. 其他a，b的梯度相应变成： 和 

6.2 流程：

CDK（输入：k, S, RBM(W, a, b) ; 输出：W, a, b）

step 1 初始化：W=0, a=0, b=0

step 2 对训练集S中的样本进行循环，然后这里变成随机梯度下降了，不是批量梯度下降了：

FORALL the v  S DO

{

}

其中的两个函数，为根据转移概率计算Gibbs转移过程。

其中，

七、RBM训练算法

7.1 将S分成包含几十或几百个样本的小批量数据

Step 2 改成：

7.2 权重和偏置的初始值

7.3 学习率和动量学习率

7.4 CD-k算法中的参数k

7.5 可见层和隐含层的单元数目nv，nh

参考：受限莫尔兹曼机简介 张春霞，姬楠楠，王冠伟 2013

A practical guide to training restricted Boltzmann machines. Hilton G 2016

八、RBM的评估

我们的目标就是最优化对数自然函数，所以可以根据w，a，b来计算似然函数，但是计算复杂度高，只好近似计算。

8.1 近似方法：重构误差：以训练样本作为初始状态，经过RBM的分布进行一次Gibbs转移后与原数据的差异量。

范数采用1-范数或2-范数（以）为例，

重构误差能够在一定程度上反映RBM对训练样本的似然度，不过并不完全可靠。但总的来说，计算相当简单，因此在实践中非常有用。

另外还有一种叫做退火式重要性抽样（Annealed Importance Sampling, AIS）,它通过引入一个更简单的辅助分布，近似计算出归一化因子，从而直接算出RBM对训练数据的似然度，具体参考 <基于马尔科夫链蒙特卡罗方法的RBM学习算法改进，胡洋，2012>

参考：

<1> http://blog.csdn.net/itplus/article/details/19408773

<2> http://www.cnblogs.com/daniel-D/p/3388724.html