商业求解器的前世：数学规划问题与算法实践

求解器一般用来解决大规模现实问题中的最优解，基于深度学习和运筹优化技术的发展，求解器可以在数秒内给出决策答案。作为重要的工业软件之一，目前已经应用到能源电力、航空航天、轨道交通等各领域。

目前，Gurobi、CPLEX和Xpress被视为三大主流求解器，占据90%的国际市场份额。针对任何约束条件下的问题最优解，它都可以在数秒内给出答案，大大地提升了决策效率。而这一技术的发展，也要从一个饮食优化问题说起。

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斯蒂格勒饮食和旅行商问题

单纯形法是求解线性规划（LP）问题最为常见的算法之一，也是当前很多求解器的算法框架之一。线性规划作为数学规划的一个重要的分支，可以追溯到1945年George Stigler提出的饮食问题。而针对这一问题的求解，也是单纯形法问世的开始。

“斯蒂格勒饮食”是以 1982 年诺贝尔经济学奖得主George Stigler命名的优化问题，“对于一个体重154磅（70 公斤）的适度运动的人来说，为了满足9种不同营养素的摄入量达到国家研究委员会在 1943 年建议的推荐膳食摄入量(RDA)，每天应该摄入77种食物中的哪些品类，且成本最低？”

这一问题包含9个约束条件，77个变量。这一问题提出之际，线性规划算法尚未出现，但他使用了启发式方法进行求解，从最初的77种食物中剔除62种（这些食物被剔除是因为它们与其余15种相比缺乏营养），通过计算出剩余的15种食物中，每种食物所需的数量，得出成本最小化解决方案，每年成本是39美元。

George Stigler 1939年的饮食方案

他的求解，被视为线性规划的早期工作。直到1947年，经济学家Jack Laderman使用了单纯形算法解决了这一问题。据报道，求解过程需要120个工作日，最终得到的结果是39.69美元，与George Stigler的结果仅仅相差0.24美元。

同一时间段，George  Dantzig 发表了单纯形算法。彼时，他作为美国空军参谋人员，面临着制定后勤计划的困难。由此，他开发了线性规划公式和单纯形算法，使得无需依赖启发式方法，即可解决诸如“斯蒂格勒饮食”等LP问题。

简单来说，单纯形算法就是从可行域的各顶点出发，判断该顶点是否为最优解，若是最优解则问题求解结束；否则寻找新的基可行解，直到使目标函数值达到最大为止。

求解线性规划问题的单纯形法的工作原理。

不仅如此，Dantzig在1954 年与Ray Fulkerson和Selmer Johnson，通过对问题的LP松弛引入附加约束，得出了TSP的49个城市（48个州加上DC）实例的解决方案。

TSP即旅行商问题，通用化描述：“假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求路径路程为所有路径之中的最小值。”

Dantzig对TSP问题的求解标志着一般整数规划（IP）的割平面法的诞生。1958年，它被 Gomory发展成系统的和可证明的终止算法。如今，Gomory切割几乎成为每个MIP（混合整数规划）代码的一部分。 

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算法代码化

求解算法不断创造和优化的同时，基于算法的计算机方程部署也在同步发展。

最早可以求解方程的计算机可以追溯到1939年，阿塔纳索夫（John Vincent Atanasoff）和贝利（Clifford Berry）开发并成功测试了电子数字计算机的粗略原型。1942年，Atanasoff和 Berry已经构建了一个可以求解多达29个联立线性方程的版本。

20世纪40年代后期，Dantzig担任美国空军项目 SCOOP（最优程序的科学计算）的首席数学家，该项目旨在将空军人员和设备的调度和部署过程机械化。通过与国家标准局的合作，Dantzig率先开发了东部标准自动计算机（SEAC）。1951年，在SEAC上构建的第一个单纯形法的存储程序被实现，该方法在18小时内通过71个变量的空军部署模型求解了48个方程。

算法代码的商用可以追溯到IBM 701，它是IBM第一台真正的科学计算机，可以处理具有100个约束的LP模型的单纯形法的改进版本。根据Robert Bixby的说法，Manne与Orchard-Hays 在1990年一起使用此代码计算汽油混合问题，这可能是单纯形法的第一个主要应用。

之后，Orchard-Hays等人继续对MIP代码进行改进，最终产生了具有里程碑意义的“LP 90/94”代码，它第一个商业使用的基于分支定界的混合整数程序 (MIP) 代码。即使是现在，分支定界方法也是所有整数规划代码中的主力。

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求解器的商业化

早期的商业代码包括LP/90/94、MPSX（IBM）、MPS III（Management Science Systems/Ketron）、APEX（Control Data Corporation）和XMP（Roy Marsten）等。到了20世纪70年代，备受关注的MIP代码包括 SCICONIC、MPSX/370 和带有Whizard的MPS III。尽管计算代码取得了进步，但早期MIP运行时间减少的主要进展是机器硬件的改进。

彼时，Robert Bixby设想在旧机器上运行新的MIP代码，在新机器上运行旧的MIP代码，以区分软件和硬件的相对贡献。但他因无法获得拨款来研究MIP代码现代化与计算能力变化（例如有效使用大型廉价核心内存）的想法，为此成立了公司，名为CPLEX Optimization。

1988年，CPLEX LP/MIP代码作为LP求解器首次发布，并于1991年添加了MIP功能。1997年，公司被ILOG 收购。这一年前后，独立于机器硬件的 MIP 计算能力有了大幅度的飞跃，从 CPLEX 6.0 到 6.5，求解速度几乎提高了十倍。

2009年，ILOG被IBM收购，CPLEX由此变成了 IBM 的求解器。Bixby也彻底离开公司，与同僚Zonghau Gu、Edward Rothberg ，成立了Gurobi Optimization，并于2009年首次发布代码。2017 年，Thompson Street Capital Partners 收购了Gurobi的控股权。

如今，Gurobi、CPLEX，连同Xpress被视为主流的三大求解器，凭借丰富的商业开发经验，以及较好的性能，在国际市场上占了超过90%的份额。在国内，Gurobi求解器也已经在石油石化、钢铁冶金、物流快递、电商仓储、生产制造、金融投资、媒体管理、网络通讯、航空运输、电力市场等等行业得到广泛应用。

最初的利用单纯算法人力求解斯蒂格勒饮食的120个工作日，到现在几秒钟就给出答案，求解器在各领域发挥着举足轻重的作用。

作为典型的底层技术领域，因技术门槛高、研发难度大、投入时间长且风险较高，求解器被视为运筹优化技术领域的“皇冠”。而其作为工业软件之一，也遭遇购买使用成本高，因没有自研软件依赖进口，很容易受制于他人的困境。

由此，近几年，国产求解器的研发正在崛起，一场关于国产求解器的逆袭正在发生。