涡旋光束(二)--矢量涡旋光束的介绍

前言

本篇博客是专栏MATLAB实现涡旋光束及聚焦仿真实战的第三篇文章，主要是继续介绍涡旋光束的相关内容并做一定的仿真实现，涡旋光束的基本介绍作为专栏中第一篇入门介绍涡旋光束的文章，大家有需要的可以直接点击上面的链接进行阅读，话不多说，开始今天的博客撰写(啊，又是好久没有写博客了，自己动力太不足了，大家可以监督我一下)

矢量光束

近年来，随着微纳制备技术的逐渐发展和光场调控技术的日渐成熟，产生了一种在光束横截面上偏振态非均匀分布的光束，称之为矢量光束(vector beam)。此概念是相对通常所说的线偏振、圆偏振和椭圆偏振光束等在光束横截面上不同位置具有相同偏振态分布的标量光束提出的。先前介绍的涡旋光束中，其基本的光束横截面的光束偏振分布是均匀的，其能够应用的场景和携带的信息量比较少，因为研究的较少。但是随着近些年的相关技术的发展，使用不同的相位板，计算方法等，可以实现在偏振态上出现不同种类的光束，这种矢量光束在偏振态上的非均匀分布引起了科研工作者兴趣，其中最典型的也是最为特殊的一种矢量光束的就是柱矢量光束，这种光束在横截面上，偏振态的分布是呈现轴对称的情况的，典型的两类柱矢量光束是横截面上偏振沿半径方向的径向偏振光束(radially polarized beam)和沿方位角方向的方位角偏振光束(azimuthally polarized beam)，如下图所示：

左侧是径向偏振光束，右侧是方位角偏振光束，其中背景是光强的分布，箭头代表的是偏振态。这种矢量光束中比较特殊的一种，广义的矢量光束是偏振方向在横截面上呈轴对称且同径向保持φ0夹角的偏振光，是上述两种光束的线性叠加，如图所示：

矢量光束的数学基础

矢量光束的发展始于 20 世纪 70 年代，瑞士和日本研究小组分别通过主动和被动生成技术生成了方位角偏振光和径向偏振光。在理论方面，美国 Rochester 大学的 Hall小组从 Maxwell 波动方程出发求解矢量光束的解，在自由空间中，我们可以得到函数的Helmholtz方程：
其中$k=2\pi /\lambda$表示的是波数(wavenumber)，在笛卡尔坐标系下，方程的一个含时傍轴近似解可以表示为

结合傍轴近似条件

通过对变量的分离，我们可以得到其中一种模式解：即厄密高斯模，其解的形式可以表示为

其中$H_m(x)$表示厄密多项式，且满足以下的条件：

对于$u(x,y,z)$里面的变量，这里就不在赘述了，相关变量的说明大家可以查看我的这篇文章：
高斯光束及其MATLAB仿真
如果对于$u(x,y,z)$进行一个简单的化简，就可以得到最常见也是最基础的高斯光束解：

矢量涡旋光束

在上面的基本介绍中，我们可以看到矢量光束的是由于光束的偏振态在横截面上的分布非均匀导致的，我们做进一步的考虑，矢量涡旋光束，在先前的介绍中，我们谈到，对于涡旋光束，最重要的一项就是光束的表达式内部含有OAM因子，因此，对于矢量涡旋光束，我们需要在相应的公式后添加对应的OAM因子表达式即可，即$exp(il\varphi )$。

好吧，今天就先写到这里吧，这篇主要是一些基本概念的介绍，后面的关于MATLAB实操一些公式和仿真，我准备放在后面，慢慢写吧。本来这篇会有很多东西的，但是主要都是些公式推导，我自己实在是不想在CSDN 里面敲出来了，就简单写下吧，还是欢迎大家留言！