人工智能数学基础--导数2:高阶导数及莱布尼茨(Leibniz)公式

一、定义

一般地,函数y=f(x)的导数y’=f’(x)仍然是x的函数。我们把y’=f’(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作y’‘或
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相应地,把y=f(x)的导数f’(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数。类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数······一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数,分别记作:
y"’,y(4),…,y(n)

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函数y=f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n 阶可导。如果函数f(x)在点x处具有n阶导数,那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

求高阶导数就是按前面学过的求导法则多次接连地求导数,若需要函数的高阶导数公式,则需要在逐次求导过程中,善于寻求某种对应的规律。

二、几个初等函数的高阶导数

1、指数函数y=ex的高阶导数

y=ex的高阶导数:y(n)=(ex)(n)=ex

2、正弦函数、余弦函数的高阶导数

y(n)=(sinx)(n)=sin(x+n×π/2)
y(n)=(cosx)(n)=cos(x+n×π/2)

3、对数ln(1+x)的高阶导数

y(n)=[ln(1+x)](n)=(-1)n-1(n-1)!/(1+x)(n)

4、幂函数y=xu的高阶导数

当n<=u时:

y(n)=(xu)(n)=u(u-1)…(u-n+1)xu-n

当u=n时,实际上上述公式的结果值为:n!,即:(xn)(n)=n!

当n>u时,(xu)(n)=0

三、高阶导数运算公式

1、加减法

(u ± v)(n)=u(n) ± v(n)

2、乘法

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上述公式称为莱布尼茨(Leibniz)公式。例如:

(u v)"=u"v+2u’v’+uv"
(u v)"’=u"‘v+3u"v’+3u’v"+uv"’

四、小结:

本文介绍了高阶导数的定义、莱布尼茨(Leibniz)等高阶导数运算公式以及几个函数的高阶导数求导公式。

说明:

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