NNDL 作业11：优化算法比较

1. 编程实现图6-1，并观察特征

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
 
 
def func(x, y):
    return x * x / 20 + y * y
 
 
def paint_loss_func():
    x = np.linspace(-50, 50, 100)  # x的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
    y = np.linspace(-50, 50, 100)  # y的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
 
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = func(X, Y)
 
    fig = plt.figure()  # figsize=(10, 10))
    ax = Axes3D(fig)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
 
    ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
    plt.show()
 
 
paint_loss_func()

运行结果：

特征：

2. 观察梯度方向

特征：
这个梯度的特征是，y轴方向上大，x轴方向上小。换句话说, 就是y轴方向的坡度大，而x轴方向的坡度小。这里需要注意的是，虽然式 (6.2)的最小值在(x, y)= (0, 0)处，但是图6-2中的梯度在很多地方并没有指向(0,0)。

3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from collections import OrderedDict
 
 
class SGD:
    """随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）"""
 
    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
 
    def update(self, params, grads):
        for key in params.keys():
            params[key] -= self.lr * grads[key]
 
 
class Momentum:
    """Momentum SGD"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.v[key] = self.momentum * self.v[key] - self.lr * grads[key]
            params[key] += self.v[key]
 
 
class Nesterov:
    """Nesterov's Accelerated Gradient (http://arxiv.org/abs/1212.0901)"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.v[key] *= self.momentum
            self.v[key] -= self.lr * grads[key]
            params[key] += self.momentum * self.momentum * self.v[key]
            params[key] -= (1 + self.momentum) * self.lr * grads[key]
 
 
class AdaGrad:
    """AdaGrad"""
 
    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
        self.h = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.h[key] += grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
 
 
class RMSprop:
    """RMSprop"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, decay_rate=0.99):
        self.lr = lr
        self.decay_rate = decay_rate
        self.h = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.h[key] *= self.decay_rate
            self.h[key] += (1 - self.decay_rate) * grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
 
 
class Adam:
    """Adam (http://arxiv.org/abs/1412.6980v8)"""
 
    def __init__(self, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999):
        self.lr = lr
        self.beta1 = beta1
        self.beta2 = beta2
        self.iter = 0
        self.m = None
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.m is None:
            self.m, self.v = {}, {}
            for key, val in params.items():
                self.m[key] = np.zeros_like(val)
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        self.iter += 1
        lr_t = self.lr * np.sqrt(1.0 - self.beta2 ** self.iter) / (1.0 - self.beta1 ** self.iter)
 
        for key in params.keys():
            self.m[key] += (1 - self.beta1) * (grads[key] - self.m[key])
            self.v[key] += (1 - self.beta2) * (grads[key] ** 2 - self.v[key])
 
            params[key] -= lr_t * self.m[key] / (np.sqrt(self.v[key]) + 1e-7)
 
 
def f(x, y):
    return x ** 2 / 20.0 + y ** 2
 
 
def df(x, y):
    return x / 10.0, 2.0 * y
 
 
init_pos = (-7.0, 2.0)
params = {}
params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
grads = {}
grads['x'], grads['y'] = 0, 0
 
optimizers = OrderedDict()
optimizers["SGD"] = SGD(lr=0.95)
optimizers["Momentum"] = Momentum(lr=0.1)
optimizers["AdaGrad"] = AdaGrad(lr=1.5)
optimizers["Adam"] = Adam(lr=0.3)
 
idx = 1
 
for key in optimizers:
    optimizer = optimizers[key]
    x_history = []
    y_history = []
    params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
 
    for i in range(30):
        x_history.append(params['x'])
        y_history.append(params['y'])
 
        grads['x'], grads['y'] = df(params['x'], params['y'])
        optimizer.update(params, grads)
 
    x = np.arange(-10, 10, 0.01)
    y = np.arange(-5, 5, 0.01)
 
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = f(X, Y)
    # for simple contour line
    mask = Z > 7
    Z[mask] = 0
 
    # plot
    plt.subplot(2, 2, idx)
    idx += 1
    plt.plot(x_history, y_history, 'o-', color="red")
    plt.contour(X, Y, Z)  # 绘制等高线
    plt.ylim(-10, 10)
    plt.xlim(-10, 10)
    plt.plot(0, 0, '+')
    plt.title(key)
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
 
plt.subplots_adjust(wspace=0, hspace=0)  # 调整子图间距
plt.show()

运行结果：

4. 分析上图，说明原理（选做）

1.为什么SGD会走“之字形”？其它算法为什么会比较平滑？

• 因为图像的变化并不均匀，所以y方向变化很大时，x方向变化很小，只能迂回往复地寻找，效率很低，但对于算法自己来说这是不可避免的“最优路径”。
• SGD有缺陷，呈现之字形，是因为图像的变化并不均匀，所以y方向变化很大时，x方向变化很小，只能迂回往复地寻找，效率很低。
• 其他算法在下降开始阶段，历史速度变量和当前梯度方向相反，则会使得下降的过程更为平滑，避免过度震荡。因此主要作用在于： 有一定几率跳出局部最优解，历史速度变量和当前梯度方向相反时，使得下降的过程更为平滑。

2.Momentum、AdaGrad对SGD的改进体现在哪里？速度？方向？在图上有哪些体现？

• Momentum
  动量优化法，相比于SGD仅仅关注当前的梯度，该方法引入了动量向量的概念，参数沿着动量向量进行更新，即更新的时候在一定程度上保留之前更新的方向，同时利用当前batch的梯度微调最终的更新方向。公式表示如下图所示，dW与db分别表示当前的权重梯度和偏移量梯度，其中β取值越大，过去的梯度影响越大，梯度下降更加顺滑，但是β太大也不行，一般取到0.9。
  
  总的来说，该方法从梯方面进行了优化。

• Adagrad
  该方法使梯度在各个维度上按比例地缩小,也就是降低学习率，随着迭代次数的增加，学习率会越来越小，并且在某个维度上越陡峭，学习率降低得就越快，在这个维度上越平缓，学习率降低得就越慢。所以，该方法非常适合处理稀疏数据。公式表示如下图所示，学习率η除以了过往梯度的平方和的开方。
  
  随着训练迭代轮数的增加，学习率会越来越小，后期可能学不到任何东西，导致训练提前结束。
  总的来说，该方法是从学习率的角度进行了优化。

3.仅从轨迹来看，Adam似乎不如AdaGrad效果好，是这样么？

是，AdaGrad擅长学习稀疏feature和稀疏梯度。学习率衰减的Adam算法在imdb数据集(Bow feature)上，可以取得和AdaGrad一样的效果。

5、调整学习率、动量等超参数，轨迹有哪些变化？

调整学习率
lr=0.6

lr=1

lr=3

lr=5

从以上实验结果可以发现，AdaGrad效果最好。

5. 总结SGD、Momentum、AdaGrad、Adam的优缺点（选做）

• SGD
  优点：训练收敛速度快，可以在线更新模型，有几率跳出局部最优达到更好的局部最优或者全局最优 。
  缺点：不稳定，容易陷入局部最优，在某些情况下可能被困在鞍点。

• Momentum
  优点：在相关方向加速SGD，抑制振荡，从而加快收敛；在一定程度上增加稳定性，从而学习更快，并且还有摆脱局部最优的能力。
  缺点：需要人工设定学习率，需要有可靠的初始化参数。

• AdaGrad
  优点：前期gt 较小的时候， regularizer较大，能够放大梯度 ;后期gt 较大的时候，regularizer较小,能够约束梯度 ;适合处理稀疏梯度。
  缺点：依赖于人工设置一个全局学习率, η \etaη设置过大的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大;中后期，分母上梯度平方的累加将会越来越大，使gradient→0，使得训练提前结束。

• Adam
  优点：结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点；对内存需求较小；为不同的参数计算不同的自适应学习率；也适用于大多非凸优化 ，适用于大数据集和高维空间 。
  缺点：不能适应所有的场合，泛化能力差：可能不收敛，可能错过全局最优解。

6. Adam这么好，SGD是不是就用不到了？（选做）

不是,先来看SGD，SGD没有动量的概念，也就是说:
可以看到下降梯度就是最简单的$$\eta t=\alpha \cdot gt$$
SGD最大的缺点是下降速度慢，而且可能会在沟壑的两边持续震荡，停留在一个局部最优点。
SGD-M在SGD基础上增加了一阶动量，AdaGrad和AdaDelta在SGD基础上增加了二阶动量。把一阶动量和二阶动量都用起来，就是Adam了——Adaptive + Momentum。
SGD的一阶动量：

加上AdaDelta的二阶动量：

优化算法里最常见的两个超参数 就都在这里了，前者控制一阶动量，后者控制二阶动量。
但Adam并不能适应所有的场合，首先Adam可能不收敛，二阶动量是固定时间窗口内的累积，随着时间窗口的变化，遇到的数据可能发生巨变，使得 Vt 可能会时大时小，不是单调变化。这就可能在训练后期引起学习率的震荡，导致模型无法收敛;其次，使用Adam可能错过全局最优解，同样的一个优化问题，不同的优化算法可能会找到不同的答案，但自适应学习率的算法往往找到非常差的答案。

总结

课上听老师讲结合课下自己动手实操，通过对几种优化算法的比较，对SGD、Momentum、AdaGrad、Adam有了一定的了解，SGD最大的缺点是下降速度慢，而且可能会陷入局部最优，Adam结合了几种算法的优点，但泛化能力差，所以不如SGD。

参考文章

https://www.cnblogs.com/pandaLiu666/articles/15833534.html
https://blog.51cto.com/u_15279692/2944322
https://blog.csdn.net/lvhao92/article/details/79742122