导向滤波与opencv python实现

定义

导向滤波是一个线性滤波，输出为由引导图$I$乘上输入图$P$得到的权重的加权平均。

$i$和$j$是像素下标，滤波核$W_{ij}$为$I$的函数，其不依赖于$p$。

引导滤波器的关键假设是引导I和滤波器输出$q$之间的局部线性模型。我们假设$q$是$I$在以像素$k$为中心的窗口${\omega }_k$中的线性变换。

这里假设($a_k$, $b_k$)在${\omega }_k$中为线性的常数。其中${\omega }_k$为一个半径为$r$的正方形窗口。在一个窗口${\omega }_k$内，只会确定一个$a_k$和$b_k$，但可以根据一个$a_k$和$b_k$，求出$|\omega |$个$q_i$。这个局部线性模型确保$q$只有在$I$有边缘时才有边缘，因为$\nabla q$ = $a\nabla I$。

推导

利用岭回归确认参数$a_k$, $b_k$的值，也就是求下式的最小值：

其中$ϵ$是一个正则化参数，以防$a_k$过大。
可以认为$q_i$为$p_i$去掉噪音$n_i$后的图片：

得出的结果如下：

其中${\mu }_k$和${\sigma }_k^2$是$I$在${\omega }_k$内的均值与方差。$|\omega |$是窗口内的像素数目。${\overline{p}}_k$是窗口内$p$的均值。具体推导可参考：公式推导

将这个线性模型应用在整幅图像上的所有小窗口上，$q_i$在不同的小窗口内会有不同取值，所以需要将$q_i$取平均：

论文指出，一开始提出的加权平均的权重如下式：

其只取决于引导图像$I$。具体推导详见论文3.3。

$ϵ$值的影响

当$I=p$时，该算法即成为一个边缘保持滤波器。

Case 1：

如果某个窗口在平坦区域，那么该区域的方程${\sigma }_k^2$将远远小于$ϵ$。从而$a_k\approx 0$，$b_k\approx {\overline{p}}_k$，即相当于对该区域作均值滤波。

Case 2：

如果某个窗口在高方差区域，那么该区域的方程${\sigma }_k^2$将远远大于$ϵ$。从而$a_k\approx 1$，$b_k\approx 0$，即相当于在区域保持原有梯度。

$r$与$ϵ$越大，图像越模糊，越趋于做均值滤波。

代码

输入图像必须得先进行归一化后再处理，否则滤波后会有超过255的值

def guided_filter(I,p,win_size,eps):

    mean_I = cv2.blur(I,(win_size,win_size))
    mean_p = cv2.blur(p,(win_size,win_size))

    corr_I = cv2.blur(I*I,(win_size,win_size))
    corr_Ip = cv2.blur(I*p,(win_size,win_size))

    var_I = corr_I-mean_I*mean_I
    cov_Ip = corr_Ip - mean_I*mean_p

    a = cov_Ip/(var_I+eps)
    b = mean_p-a*mean_I

    mean_a = cv2.blur(a,(win_size,win_size))
    mean_b = cv2.blur(b,(win_size,win_size))

    q = mean_a*I + mean_b
    return q

参考文献

Guided Image Filtering
导向滤波(Guided Filter)公式详解