算法60天-Day24（回溯算法补充）：剪枝到底剪了什么
代码随想录（截图自参考【1】）
上篇文章中讲到回溯算法的本质就是暴力搜索，但是可以通过剪枝来进行优化。
那么，剪枝到底剪了什么？如何剪？
我们仍然以上篇文章的组合问题来进行讨论。
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。 你可以按 任何顺序 返回答案。
剪枝到底剪了什么
Carl师兄的网站上给出的剪枝优化的图如下：
剪枝
- 所谓的剪枝就是优化每一层的for循环。
不剪枝
为了对比，我们先查看原始的回溯算法输出：
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
res = []
path = []
def backtrack(n, k, StartIndex):
if len(path) == k:
res.append(path[:])
return
for i in range(StartIndex, n + 1):
print(i) # 用于查看中间输出
path.append(i)
backtrack(n, k, i+1)
path.pop()
backtrack(n, k, 1)
return res
中间输出是这样子：
原始回溯
可以看到，for循环一共是10次：
- 1、2、3、4
- 2、3、4
- 3、4
- 4
等于说是从下标为1开始到4都进行了遍历；
剪枝方法1
参考【1】中给出的优化是这样子的：
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
res=[] #存放符合条件结果的集合
path=[] #用来存放符合条件结果
def backtrack(n,k,startIndex):
if len(path) == k:
res.append(path[:])
return
for i in range(startIndex,n-(k-len(path))+2): #优化的地方
print(i) # 用于查看中间输出
path.append(i) #处理节点
backtrack(n,k,i+1) #递归
path.pop() #回溯，撤销处理的节点
backtrack(n,k,1)
return res
输出结果如下：
剪枝方法1
可以看出上面一共输出了9次，等于循环中分别是
- 1、2、3、4
- 2、3、4
- 3、4
与最初的输出相比，等于说是优化了最后一个for。因为案例中k=2，所以倒数第二个数（3）之后的遍历都没有意义了。
剪枝方法2
仍然是参考【1】中的代码，只不过这次的代码变为如下:
class Solution(object):
def combine(self, n, k):
"""
:type n: int
:type k: int
:rtype: List[List[int]]
"""
result = []
path = []
def backtracking(n, k, startidx):
if len(path) == k:
result.append(path[:])
return
# 剪枝， 最后k - len(path)个节点直接构造结果，无需递归
last_startidx = n - (k - len(path)) + 1
result.append(path + [idx for idx in range(last_startidx, n + 1)])
for x in range(startidx, last_startidx):
print(x) # 输出中间变量
path.append(x)
backtracking(n, k, x + 1) # 递归
path.pop() # 回溯
backtracking(n, k, 1)
return result
看下中间输出：
剪枝方法2
可以看到一共只有5次输出！
但是呢，仔细看下代码，这是因为在for循环上面有一个列表生成式：[idx for idx in range(last_startidx, n + 1)]
里面的for循环遍历了last_startidx到n + 1，而下面的for循环遍历了startidx到last_startidx，所以这两种方法实际上是一样的效果！！
提交记录对比：
方法1：
方法1
方法2：
方法2
看得出来方法2站时间上占优势，方法1在内存上占优势，但是两者相差比较小，但是个人认为方法2没有方法1直观形象。
剪枝剪了什么
看起来上面的剪枝方法与原来的方法比也就是少循环了一次，但是这种因为n=4，k=2，我们改成n=10，k=3再看下：
不剪枝 
剪枝方法1
对比可以发现，随着搜索空间的变大，剪枝方法的优化才能体现出来。
综上，剪枝就是在每一层的for循环中剪去一些不必要的遍历。
如何剪枝？
剪枝就是修剪for循环，那么怎么剪？
比如n=10，k=4，那么如果len(path)已经等于2了，那么在循环中从10开始遍历已经没有意义了，因为还有2个数字需要添加，但是从10开始只剩下一个了，所以要优化的是for循环的终止位置。
所以对应的终止位置就是n-(k-len(path))+2，这样子不好理解，拆开来看：
- 当前path中有len(path)个元素；
- 还需要再选出k-len(path)个元素， 但是会从startIndex到最终位置处再选出来一个；
- 所以说从当前for循环的终止位置后面的数据中还要选出k-len(path)-1个元素，如果剩下的待选小于这个数字了，自然就不用遍历了（也就是不用进入递归了）。 举个例子，如果从剩下的数据中还需要选3个，那么从倒数第二个自然就不用遍历了，因为没有意义了，也就是说for循环的终止位置坐标对应的就是n-(k-len(path)-1-1）(等于n-(k-len(path)+2))，所以才有了上面的代码（python中，一个list的倒数第k个元素，对应的下标是n-k）。
参考
【1】https://www.programmercarl.com/0077.%E7%BB%84%E5%90%88.html#%E5%85%B6%E4%BB%96%E8%AF%AD%E8%A8%80%E7%89%88%E6%9C%AC
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