每天一个数学建模算法-12/3

今天开始介绍蒙特卡罗算法，它也被称统计模拟法、统计试验法。是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法。通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向。科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据。
蒙特卡罗算法基本思想：
蒙特卡罗方法的基本思想是这样：假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个正方形上撒，然后数落在圆内的豆子数占正方形内豆子数的比例，即可计算出圆的面积，近而计算出π。而且当豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。蒙特卡罗的理论依据是概率论中的大数定律。
蒙特卡罗算法的基本步骤：
1 构造随机的概率过程
对于本身就具有随机性质的问题，要正确描述和模拟这个概率过程。对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程了。它的某些参数正好是所要求问题的解，即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。如本例中求圆周率的问题，是一个确定性的问题，需要事先构造一个概率过程，将其转化为随机性问题，即豆子落在圆内的概率，而π就是所要求的解。
2 从已知概率分布抽样
由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量，就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段。如本例中采用的就是最简单、最基本的（0，1）上的均匀分布，而随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。
3 求解估计量
实现模拟实验后，要确定一个随机变量，作为所要求问题的解，即无偏估计。建立估计量，相当于对实验结果进行考察，从而得到问题的解。如求出的近似π就认为是一种无偏估计。

例子：

 下面的例子是如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。

正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。

 

 现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。

如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。