NNDL 作业11：优化算法比较
文章目录
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- 1. 编程实现图6-1，并观察特征
- 2. 观察梯度方向
- 3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹
- 4. 分析上图，说明原理（选做）
- 5. 总结SGD、Momentum、AdaGrad、Adam的优缺点（选做）
- 总结
1. 编程实现图6-1，并观察特征
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# https://blog.csdn.net/weixin_39228381/article/details/108511882
def func(x, y):
return x * x / 20 + y * y
def paint_loss_func():
x = np.linspace(-50, 50, 100) # x的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
y = np.linspace(-50, 50, 100) # y的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = func(X, Y)
fig = plt.figure() # figsize=(10, 10))
ax = Axes3D(fig)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
plt.show()
paint_loss_func()
各个方位图像结果：
2. 观察梯度方向
这个梯度的特征是，y轴方向上大，x轴方向上小。换句话说, 就是y轴方向的坡度大，而x轴方向的坡度小。这里需要注意的是，虽然式 (6.2)的最小值在(x, y)= (0, 0)处，但是图6-2中的梯度在很多地方并没有指向(0,0)。
3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹
SGD、Momentum、Adagrad、Adam
# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from collections import OrderedDict
class SGD:
"""随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）"""
def __init__(self, lr=0.01):
self.lr = lr
def update(self, params, grads):
for key in params.keys():
params[key] -= self.lr * grads[key]
class Momentum:
"""Momentum SGD"""
def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
self.lr = lr
self.momentum = momentum
self.v = None
def update(self, params, grads):
if self.v is None:
self.v = {}
for key, val in params.items():
self.v[key] = np.zeros_like(val)
for key in params.keys():
self.v[key] = self.momentum * self.v[key] - self.lr * grads[key]
params[key] += self.v[key]
class Nesterov:
"""Nesterov's Accelerated Gradient (http://arxiv.org/abs/1212.0901)"""
def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
self.lr = lr
self.momentum = momentum
self.v = None
def update(self, params, grads):
if self.v is None:
self.v = {}
for key, val in params.items():
self.v[key] = np.zeros_like(val)
for key in params.keys():
self.v[key] *= self.momentum
self.v[key] -= self.lr * grads[key]
params[key] += self.momentum * self.momentum * self.v[key]
params[key] -= (1 + self.momentum) * self.lr * grads[key]
class AdaGrad:
"""AdaGrad"""
def __init__(self, lr=0.01):
self.lr = lr
self.h = None
def update(self, params, grads):
if self.h is None:
self.h = {}
for key, val in params.items():
self.h[key] = np.zeros_like(val)
for key in params.keys():
self.h[key] += grads[key] * grads[key]
params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
class RMSprop:
"""RMSprop"""
def __init__(self, lr=0.01, decay_rate=0.99):
self.lr = lr
self.decay_rate = decay_rate
self.h = None
def update(self, params, grads):
if self.h is None:
self.h = {}
for key, val in params.items():
self.h[key] = np.zeros_like(val)
for key in params.keys():
self.h[key] *= self.decay_rate
self.h[key] += (1 - self.decay_rate) * grads[key] * grads[key]
params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
class Adam:
"""Adam (http://arxiv.org/abs/1412.6980v8)"""
def __init__(self, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999):
self.lr = lr
self.beta1 = beta1
self.beta2 = beta2
self.iter = 0
self.m = None
self.v = None
def update(self, params, grads):
if self.m is None:
self.m, self.v = {}, {}
for key, val in params.items():
self.m[key] = np.zeros_like(val)
self.v[key] = np.zeros_like(val)
self.iter += 1
lr_t = self.lr * np.sqrt(1.0 - self.beta2 ** self.iter) / (1.0 - self.beta1 ** self.iter)
for key in params.keys():
self.m[key] += (1 - self.beta1) * (grads[key] - self.m[key])
self.v[key] += (1 - self.beta2) * (grads[key] ** 2 - self.v[key])
params[key] -= lr_t * self.m[key] / (np.sqrt(self.v[key]) + 1e-7)
def f(x, y):
return x ** 2 / 20.0 + y ** 2
def df(x, y):
return x / 10.0, 2.0 * y
init_pos = (-7.0, 2.0)
params = {}
params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
grads = {}
grads['x'], grads['y'] = 0, 0
optimizers = OrderedDict()
optimizers["SGD"] = SGD(lr=0.95)
optimizers["Momentum"] = Momentum(lr=0.1)
optimizers["AdaGrad"] = AdaGrad(lr=1.5)
optimizers["Adam"] = Adam(lr=0.3)
idx = 1
for key in optimizers:
optimizer = optimizers[key]
x_history = []
y_history = []
params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
for i in range(30):
x_history.append(params['x'])
y_history.append(params['y'])
grads['x'], grads['y'] = df(params['x'], params['y'])
optimizer.update(params, grads)
x = np.arange(-10, 10, 0.01)
y = np.arange(-5, 5, 0.01)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = f(X, Y)
# for simple contour line
mask = Z > 7
Z[mask] = 0
# plot
plt.subplot(2, 2, idx)
idx += 1
plt.plot(x_history, y_history, 'o-', color="red")
plt.contour(X, Y, Z) # 绘制等高线
plt.ylim(-10, 10)
plt.xlim(-10, 10)
plt.plot(0, 0, '+')
plt.title(key)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.subplots_adjust(wspace=0, hspace=0) # 调整子图间距
plt.show()
4. 分析上图，说明原理（选做）
1.为什么SGD会走“之字形”？其它算法为什么会比较平滑？
- 是因为图像的变化并不均匀，所以y方向变化很大时，x方向变化很小，只能迂回往复地寻找，效率很低。
- 其他算法在下降开始阶段，历史速度变量和当前梯度方向相反，则会使得下降的过程更为平滑，避免过度震荡。因此主要作用在于： 有一定几率跳出局部最优解，历史速度变量和当前梯度方向相反时，使得下降的过程更为平滑。
2.Momentum、AdaGrad对SGD的改进体现在哪里？速度？方向？在图上有哪些体现？
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Monmentum:动量优化法，相比于SGD仅仅关注当前的梯度，该方法引入了动量向量的概念，参数沿着动量向量进行更新，即更新的时候在一定程度上保留之前更新的方向，同时利用当前batch的梯度微调最终的更新方向。公式表示如下图所示，dW与db分别表示当前的权重梯度和偏移量梯度，其中β取值越大，过去的梯度影响越大，梯度下降更加顺滑，但是β太大也不行，一般取到0.9。
总的来说，该方法从梯方面进行了优化。 -
AdaGrad:该方法使梯度在各个维度上按比例地缩小,也就是降低学习率，随着迭代次数的增加，学习率会越来越小，并且在某个维度上越陡峭，学习率降低得就越快，在这个维度上越平缓，学习率降低得就越慢。所以，该方法非常适合处理稀疏数据。公式表示如下图所示，学习率η除以了过往梯度的平方和的开方。
随着训练迭代轮数的增加，学习率会越来越小，后期可能学不到任何东西，导致训练提前结束。
总的来说，该方法是从学习率的角度进行了优化。
3.仅从轨迹来看，Adam似乎不如AdaGrad效果好，是这样么？
是，AdaGrad擅长学习稀疏feature和稀疏梯度。学习率衰减的Adam算法在imdb数据集(Bow feature)上，可以取得和AdaGrad一样的效果。不过也要注意，结果会根据要解决的问题而变。并且，很显然，超参数（学习率等）的设定值不同，结果也会发生变化。
5.调整学习率、动量等超参数，轨迹有哪些变化？
5. 总结SGD、Momentum、AdaGrad、Adam的优缺点（选做）
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SGD:优点：训练速度快，对于很大的数据集，也能以较快的速度进行收敛。
缺点：对于参数比较敏感，需要注意参数的初始化；由于是抽取的批量数据，因此得到的梯度不可避免有误差。学习速率需要逐渐减小，否则模型会无法收敛。模型在每一次的iteration中受抽样的影响比较大，也就是说梯度含有较大的噪声，不能很好地反应真实梯度。 -
Momentum:优点：加快收敛速度; 提高精度(减少震荡，使模型收敛更稳定)。
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缺点：比较难学习一个较好的学习率。
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AdaGrad :优点：适合处理稀疏梯度，能实现学习率的自动更改。如果这次梯度大，那么学习速率衰减的就快一些。如果这次梯度小，那么学习速率就衰减的慢一些。
缺点： 仍依赖于人工设置一个全局学习率;中后期，分母上梯度平方的累加会越来越大，步长也越来越小，使gradient接近0，使得训练提前结束。我们通常不倾向于使用AdaGrad对神经网络做训练。 -
Adam:优点：结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点；对内存需求较小；为不同的参数计算不同的自适应学习率；也适用于大多非凸优化，适用于大数据集和高维空间。
缺点：可能不收敛；可能错过全局最优解。
总结
本次作业通过对几种优化算法的比较，了解到优化算法的演变历史，对SGD、Momentum、AdaGrad、Adam等几种算法有了一定的了解。