概率论：概率空间的基本概念

本文用 加粗斜体 表示定义。

概率空间 是一个三元组 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$，其中
$\Omega$是结果集合(Outcomes Set)，
$\mathcal{F}$是事件集合(Events Set, a collection of subsets of $\Omega$)，
$P$是事件到概率的映射函数$P:\mathcal{F}\to [0,1]$。

假设$\mathcal{F}$是 $\sigma$-域($\sigma$-field or $\sigma$-algebra)，那么$\mathcal{F}$满足如下条件：
(i) 如果$A\in \mathcal{F}$，那么$A^c\in \mathcal{F}$
(ii) 如果$A_i\in \mathcal{F}$ 是可数序列集合 (a countable sequence of sets)，那么${\cup }_i{A}_i\in \mathcal{F}$。

可数(countable) 表示有限或可数无穷。

$(\Omega ,\mathcal{F})$称为 测度空间 (measurable space)，可在此空间上进行测度。

测度 (measure) 是非负可数可加集合函数，即$\mu :\mathcal{F}\to \mathbf{R}$，且
(i) 对于$\forall A\in \mathcal{F}$，有$\mu (A)\ge \mu (\varnothing )=0$；
(ii) 如果$A_i\in \mathcal{F}$ 是可数序列离散集合 (disjoint sets)，那么有$\mu ({\cup }_i{A}_i)={\sum }_i\mu (A_i)$。
如果$\mu (\Omega )=1$，那么$\mu$称为 概率测度 (probability measure)，通常概率测度表示为$P$。

参考文献
[1] Durrett, R. “Probability Theory and Examples Belmont CA.” cambridge u press (1996).